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마름모의 성질을 이용하여 대각선 방정식을 구하고, 원점과 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대각선 AC의 길이가 10이라는 조건을 이용해 점 C의 좌표를 먼저 확정합니다.
2. [2단계] 직선 BD는 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 이용해 직선 BD(직선 l)의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 원점(0,0)과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선이 서로를 ‘수직이등분’한다는 핵심 성질을 정확히 이용하여 직선의 방정식을 구하는 과정이 중요합니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
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세 직선이 좌표평면을 여섯 개 부분으로 나눌 조건을 묻는 서술형 문제입니다. 175번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 좌표평면이 6개 영역으로 나뉘는 경우는 (1)세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 이 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 a값을 구합니다.
4. [4단계] 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘좌표평면을 6개로 나눈다’와 ‘삼각형을 이루지 않는다(단, 셋 다 평행은 제외)’가 같은 조건임을 이해하고, 두 가지 경우를 모두 빠짐없이 찾아야 합니다.
”
정점과 원점 거리 최댓값 구하기
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 과정을 서술하는 문제입니다. 259번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 거리 식이 최대가 되려면 분모의 이차식이 최소가 되어야 합니다. 분모의 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾고, 그때의 k값(a)과 거리의 최댓값(b)을 구합니다.
3. [3단계] a+b의 값을 계산합니다.
대체 접근법(기하학적):
주어진 직선의 정점을 찾고, 거리의 최댓값은 원점과 정점 사이의 거리임을 이용하면 더 간단하게 b를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이므로, 대수적인 풀이(이차식의 최소를 이용) 과정을 단계적으로 보여주는 것이 좋습니다.
”
실생활 문제의 좌표 설정과 수직이등분선
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좌표 설정을 통해 실생활 문제를 해결하고, 수직 조건과 중점을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 벽과 지면을 각각 y축, x축으로 설정하고, 유리판의 양 끝점 A, B의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 햇빛을 나타내는 직선은 유리판(선분 AB)의 중점 M을 지나고, 유리판과 수직입니다. 직선 AB의 기울기와 중점 M을 구해, 햇빛 직선의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 햇빛이 지면과 만나는 점은 이 직선의 x절편입니다. x절편을 구해 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 능력이 필요합니다. ‘유리의 중심을 수직으로 통과’라는 표현을 ‘선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직이다(수직이등분선)’로 해석해야 합니다.
”
공선 조건과 수직이등분선, 점과 직선 거리
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세 점이 한 직선 위에 있을 조건과 수직이등분선의 개념을 결합한 서술형 문제입니다. 187번과 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있다는 조건(기울기 AB = 기울기 AC)을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. [2단계] 점 C의 좌표가 확정되면, 선분 AC의 수직이등분선의 방정식을 구합니다. (중점 조건 + 수직 조건)
3. [3단계] 원점과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 공식으로 구합니다.
주의할 점:
문제의 각 단계를 순서대로 정확히 수행해야 합니다. 한 단계의 실수가 이후 모든 계산에 영향을 미칩니다.
”
정점과 점과 직선 사이 거리
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두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점의 자취를 구하는 문제입니다. 이는 두 직선의 각의 이등분선을 구하는 것과 완전히 동일합니다.
접근법:
1. 자취 위의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
2. 점 P에서 첫 번째 직선까지의 거리와 두 번째 직선까지의 거리가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 절댓값을 포함한 방정식이 만들어집니다.
4. 절댓값을 풀 때의 두 가지 경우(+, -)를 모두 계산하여 두 개의 직선의 방정식을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 표현이 ‘자취’로 나왔지만, 본질은 ‘각의 이등분선’을 구하는 것입니다. 두 표현이 같은 의미임을 이해해야 합니다.
”
두 직선까지 거리의 비가 일정한 자취
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정점을 지나는 직선과 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하는 서술형 문제입니다. 241번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 직선을 a에 대해 정리하여, a값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 점 A와 직선 x+y+k=0 사이의 거리가 √2 라는 조건을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
3. [3단계] k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
항등식의 원리를 이용해 정점을 찾는 과정을 정확히 서술하는 것이 중요합니다.
”
평행 조건과 두 직선 사이 거리
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한 점에서 두 직선에 내린 수선의 길이의 비율이 일정할 때, 그 점의 자취를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 자취 위의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
2. 점 P에서 각 직선까지의 거리(PR, PS)를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 나타냅니다.
3. 문제의 조건 PR:PS = 2:1, 즉 PR = 2*PS 라는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 절댓값을 포함하며, |A| = 2|B| 형태가 됩니다.
5. A = 2B 인 경우와 A = -2B 인 경우, 두 가지를 모두 풀어 두 개의 자취의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
거리가 ‘같다’가 아닌 ‘2:1의 비를 갖는다’는 조건이므로, 거리 공식에 2를 곱해주는 것을 잊지 말아야 합니다. 원리는 각의 이등분선과 유사합니다.
”
넓이가 일정할 때 꼭짓점의 자취
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평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다. 253번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 두 직선이 평행할 조건을 이용해 정수 m의 값을 먼저 구합니다.
2. [2단계] m값을 대입해 두 직선의 방정식을 완성하고, 한 직선 위의 임의의 점과 다른 직선 사이의 거리를 공식으로 구합니다.
3. [3단계] 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀었을 때 m값이 여러 개 나올 수 있으나, ‘정수’라는 조건에 맞는 값을 선택해야 합니다.
”
정삼각형과 평행한 두 직선
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삼각형의 넓이가 일정하게 유지될 때, 한 꼭짓점의 자취를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABP에서 밑변을 선분 AB로 고정합니다.
2. 밑변 AB의 길이를 먼저 구합니다.
3. 삼각형의 넓이가 15로 일정하고 밑변의 길이도 일정하므로, **높이 h가 일정**해야 함을 알 수 있습니다. 넓이 공식을 이용해 높이 h의 값을 구합니다.
4. 점 P의 자취는, 밑변을 포함하는 **직선 AB로부터의 거리가 h로 일정한 직선**입니다.
5. 직선 AB와 평행하면서 거리가 h인 직선은 위, 아래로 두 개가 존재합니다. 이 두 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
넓이가 일정하다는 조건을 ‘높이가 일정하다’로, 다시 ‘평행한 두 직선’으로 기하학적으로 해석하는 과정이 중요합니다.
”
점과 직선 사이 거리 공식 유도 과정
