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마름모의 성질을 이용하여 대각선 방정식을 구하고, 원점과 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대각선 AC의 길이가 10이라는 조건을 이용해 점 C의 좌표를 먼저 확정합니다.
2. [2단계] 직선 BD는 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 이용해 직선 BD(직선 l)의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 원점(0,0)과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선이 서로를 ‘수직이등분’한다는 핵심 성질을 정확히 이용하여 직선의 방정식을 구하는 과정이 중요합니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
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세 직선이 좌표평면을 여섯 개 부분으로 나눌 조건을 묻는 서술형 문제입니다. 175번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 좌표평면이 6개 영역으로 나뉘는 경우는 (1)세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 이 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 a값을 구합니다.
4. [4단계] 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘좌표평면을 6개로 나눈다’와 ‘삼각형을 이루지 않는다(단, 셋 다 평행은 제외)’가 같은 조건임을 이해하고, 두 가지 경우를 모두 빠짐없이 찾아야 합니다.
”
정점과 원점 거리 최댓값 구하기
“
정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 과정을 서술하는 문제입니다. 259번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 거리 식이 최대가 되려면 분모의 이차식이 최소가 되어야 합니다. 분모의 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾고, 그때의 k값(a)과 거리의 최댓값(b)을 구합니다.
3. [3단계] a+b의 값을 계산합니다.
대체 접근법(기하학적):
주어진 직선의 정점을 찾고, 거리의 최댓값은 원점과 정점 사이의 거리임을 이용하면 더 간단하게 b를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이므로, 대수적인 풀이(이차식의 최소를 이용) 과정을 단계적으로 보여주는 것이 좋습니다.
”
실생활 문제의 좌표 설정과 수직이등분선
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좌표 설정을 통해 실생활 문제를 해결하고, 수직 조건과 중점을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 벽과 지면을 각각 y축, x축으로 설정하고, 유리판의 양 끝점 A, B의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 햇빛을 나타내는 직선은 유리판(선분 AB)의 중점 M을 지나고, 유리판과 수직입니다. 직선 AB의 기울기와 중점 M을 구해, 햇빛 직선의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 햇빛이 지면과 만나는 점은 이 직선의 x절편입니다. x절편을 구해 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 능력이 필요합니다. ‘유리의 중심을 수직으로 통과’라는 표현을 ‘선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직이다(수직이등분선)’로 해석해야 합니다.
”
공선 조건과 수직이등분선, 점과 직선 거리
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두 직선의 교점을 지나는 직선과, 다른 한 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다. 262번 원리의 일반화입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들과 점 A(2,-2) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 262번 원리와 같이, 점 A와 직선 사이의 거리는 직선이 **선분 AP와 수직**일 때 최대가 되며, 그 최댓값은 **선분 AP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 A와 P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
어떤 점(원점이든, 다른 점이든)과 정점을 지나는 직선군 사이의 거리 최댓값은, 항상 두 점 사이의 거리라는 일반적인 원리를 이해하는 것이 중요합니다.
”
곡선 위의 점과 직선 사이 최단 거리
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삼각형의 내심을 지나는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 문제에서 요구하는 직선은 점 B와 내심을 지납니다. 이는 곧 각 B의 이등분선의 방정식을 구하라는 의미입니다.
2. 각 B의 이등분선은, 두 직선 BA와 BC로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취입니다.
3. 먼저 두 직선 BA와 BC의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 구하고, 그 중 삼각형의 내부를 지나는(기울기 등을 고려) 적절한 방정식을 선택합니다.
주의할 점:
‘점 B와 내심을 지나는 직선’이 ‘각 B의 이등분선’과 같다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
”
두 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취
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곡선 위의 점과 직선 위의 점 사이의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 이 거리가 최소가 될 때는, 주어진 직선을 평행이동하여 곡선에 **처음으로 접하게** 될 때, 그 **접점**과 직선 사이의 거리입니다.
2. 주어진 직선과 평행한, 즉 기울기가 같은 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 2인 접선이 이차함수 y=x²에 접할 조건을 **판별식 D=0**을 이용해 구합니다.
4. 접선의 방정식이 완성되면, 접점 A의 좌표도 구할 수 있습니다.
5. 최소 거리는 평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
문제는 점 A의 좌표만 묻고 있습니다. 접점을 찾기 위해, 판별식 D=0을 만족하는 이차방정식의 중근을 구하면 그것이 접점의 x좌표가 됩니다.
”
곡선과 직선 사이 거리 최솟값
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곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값이 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 265번과 같이, 곡선과 직선 사이의 최단 거리는 주어진 직선과 **평행한 접선**을 이용해 구합니다.
2. 곡선에 접하면서 기울기가 4인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리가 √17이다’라는 문제로 바뀝니다.
4. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 방정식을 풀고, 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
접선과 원래 직선 중 어느 것이 위쪽에 있는지에 따라 k값이 두 개 나올 수 있습니다. 문제의 상황에 맞는 k값을 선택해야 합니다.
”
곡선과 직선 거리 최솟값의 최댓값
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곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값을 또 다른 함수의 식으로 보고, 그 함수의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 세 꼭짓점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
1. 먼저 거리의 최솟값 f(a)를 a에 대한 식으로 표현해야 합니다. 이는 주어진 직선과 평행한 접선 사이의 거리를 구하는 것과 같습니다.
2. 기울기가 2인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구하면, 접선의 y절편이 a에 대한 식으로 나타납니다.
3. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 이용하면, 최솟값 f(a)가 a에 대한 이차식의 절댓값 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 a의 범위(3
최솟값을 구하는 과정 자체를 하나의 함수로 보고, 그 함수의 최대/최소를 다시 구하는 다단계 추론이 필요합니다. 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
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세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 밑변과 높이) 한 변(예: AB)을 밑변으로 정하고 길이를 구합니다. 이 변을 포함하는 직선의 방정식을 구한 뒤, 나머지 한 꼭짓점(C)에서 이 직선까지의 거리를 구해 높이를 찾습니다. 넓이 = 1/2 * 밑변 * 높이로 계산합니다.
2. (방법 2: 신발끈 공식) 세 꼭짓점의 좌표를 알고 있을 때, 신발끈 공식을 이용하면 빠르고 직접적으로 넓이를 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이 아니라면 신발끈 공식이 훨씬 효율적입니다. 공식을 정확히 암기하고, 좌표를 순서대로 적고 마지막에 처음 좌표를 한 번 더 쓰는 것을 잊지 말아야 합니다.
”
평행선 위의 점으로 만든 삼각형 넓이
