“
259, 260번 문제와 동일한 원리입니다. 특정 점 A와, 정점을 지나는 직선 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 점 A와 이 직선 사이의 거리가 최대가 되는 경우는, 이 직선이 **선분 AP와 수직**일 때입니다.
3. 문제에서는 최댓값이 아닌, 그때의 m(기울기) 값을 묻고 있습니다.
4. 따라서 직선 AP의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾으면, 그것이 바로 구하는 m값입니다.
주의할 점:
거리의 최댓값 자체는 선분 AP의 길이지만, 문제에서 묻는 것은 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 기울기’라는 점을 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점과 원점 거리 최댓값
“
276번 문제와 동일하게 각의 이등분선이 특정 점을 지날 때의 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 개의 각의 이등분선 방정식을 구합니다. (두 직선까지의 거리가 같다는 자취의 방정식 이용)
2. 이등분선 방정식에는 미지수 a가 포함된 채로 구해집니다.
3. 이등분선이 점 (2,1)을 지난다고 했으므로, 두 개의 이등분선 방정식에 각각 (2,1)을 대입합니다.
4. 각각의 경우에 대해 a값을 구하고, 모든 a값의 합을 계산합니다.
주의할 점:
미지수가 처음부터 식에 포함되어 있어도 원리는 동일합니다. 자취의 방정식을 구하고, 그 자취가 특정 점을 지난다는 조건을 마지막에 적용하면 됩니다.
”
한 직선이 다른 두 직선의 각을 이등분할 때
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두 직선의 교점을 지나는 무수히 많은 직선들 중에서, 원점에서의 거리가 최대가 되는 특정 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들 중 원점 O와의 거리가 최대인 직선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 259번 원리와 같이, 이 거리가 최대가 되는 경우는 해당 직선이 **선분 OP와 수직**일 때이며, 최댓값은 **선분 OP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 O, P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, ‘교점을 지나는 직선’을 ‘정점을 지나는 직선’으로 해석하면, 거리의 최댓값은 정점과 원점 사이의 거리라는 간단한 결론에 도달합니다.
”
교점을 지나는 직선과 원점 거리 최대인 직선
“
한 직선이 다른 두 직선이 이루는 각을 이등분할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선(ax-y=0, x+ay-5=0)이 이루는 각의 이등분선 방정식을 구합니다.
2. ‘두 직선으로부터의 거리가 같다’는 자취의 원리를 이용하면, 두 개의 이등분선 방정식이 나옵니다.
3. 주어진 직선(3x+y-5=0)이 이 두 개의 이등분선 중 하나와 일치해야 합니다.
4. 계수 비교법을 통해 두 직선이 일치하도록 하는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 이등분선이 나오므로, 주어진 직선이 둘 중 어느 것과 일치할 수 있는지 두 가지 경우를 모두 확인해야 합니다.
”
정점과 각의 이등분선
“
262번 문제와 동일한 문제입니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선의 방정식을 구합니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 원점과의 거리가 최대가 되는 직선은, **선분 OP에 수직**이면서 **점 P를 지나는 직선**입니다.
3. 직선 OP의 기울기를 구합니다.
4. 그것과 수직인 기울기를 구합니다.
5. 점 P를 지나고 4단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
262번은 최댓값(거리)을, 이 문제는 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 방정식’을 묻고 있습니다. 문제의 최종 질문을 정확히 파악해야 합니다.
”
교점과 한 점 사이 거리 최댓값
“
정점을 지나는 직선과 각의 이등분선 개념이 혼합된 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 주어진 직선이 k에 관계없이 지나는 정점을 찾고, 두 직선의 교점과 일치하는지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선의 기울기를 k에 대한 식으로 표현하고, 그 기울기가 -1이 되게 하는 k값이 존재하는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-3일 때의 직선의 방정식을 구하고, 이 직선이 다른 두 직선(3x-y=0, x+3y-10=0)의 각의 이등분선이 맞는지 직접 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 확인할 때는, 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 직접 구해서 비교해야 합니다. 여러 개념을 정확히 이해하고 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
삼각형의 내심을 지나는 직선
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두 직선의 교점을 지나는 직선과, 다른 한 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다. 262번 원리의 일반화입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들과 점 A(2,-2) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 262번 원리와 같이, 점 A와 직선 사이의 거리는 직선이 **선분 AP와 수직**일 때 최대가 되며, 그 최댓값은 **선분 AP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 A와 P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
어떤 점(원점이든, 다른 점이든)과 정점을 지나는 직선군 사이의 거리 최댓값은, 항상 두 점 사이의 거리라는 일반적인 원리를 이해하는 것이 중요합니다.
”
곡선 위의 점과 직선 사이 최단 거리
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삼각형의 내심을 지나는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 문제에서 요구하는 직선은 점 B와 내심을 지납니다. 이는 곧 각 B의 이등분선의 방정식을 구하라는 의미입니다.
2. 각 B의 이등분선은, 두 직선 BA와 BC로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취입니다.
3. 먼저 두 직선 BA와 BC의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 구하고, 그 중 삼각형의 내부를 지나는(기울기 등을 고려) 적절한 방정식을 선택합니다.
주의할 점:
‘점 B와 내심을 지나는 직선’이 ‘각 B의 이등분선’과 같다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
”
두 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취
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곡선 위의 점과 직선 위의 점 사이의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 이 거리가 최소가 될 때는, 주어진 직선을 평행이동하여 곡선에 **처음으로 접하게** 될 때, 그 **접점**과 직선 사이의 거리입니다.
2. 주어진 직선과 평행한, 즉 기울기가 같은 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 2인 접선이 이차함수 y=x²에 접할 조건을 **판별식 D=0**을 이용해 구합니다.
4. 접선의 방정식이 완성되면, 접점 A의 좌표도 구할 수 있습니다.
5. 최소 거리는 평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
문제는 점 A의 좌표만 묻고 있습니다. 접점을 찾기 위해, 판별식 D=0을 만족하는 이차방정식의 중근을 구하면 그것이 접점의 x좌표가 됩니다.
”
곡선과 직선 사이 거리 최솟값
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곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값이 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 265번과 같이, 곡선과 직선 사이의 최단 거리는 주어진 직선과 **평행한 접선**을 이용해 구합니다.
2. 곡선에 접하면서 기울기가 4인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리가 √17이다’라는 문제로 바뀝니다.
4. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 방정식을 풀고, 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
접선과 원래 직선 중 어느 것이 위쪽에 있는지에 따라 k값이 두 개 나올 수 있습니다. 문제의 상황에 맞는 k값을 선택해야 합니다.
”
곡선과 직선 거리 최솟값의 최댓값
