“
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값을 또 다른 함수의 식으로 보고, 그 함수의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 세 꼭짓점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
1. 먼저 거리의 최솟값 f(a)를 a에 대한 식으로 표현해야 합니다. 이는 주어진 직선과 평행한 접선 사이의 거리를 구하는 것과 같습니다.
2. 기울기가 2인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구하면, 접선의 y절편이 a에 대한 식으로 나타납니다.
3. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 이용하면, 최솟값 f(a)가 a에 대한 이차식의 절댓값 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 a의 범위(3
최솟값을 구하는 과정 자체를 하나의 함수로 보고, 그 함수의 최대/최소를 다시 구하는 다단계 추론이 필요합니다. 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
“
세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 밑변과 높이) 한 변(예: AB)을 밑변으로 정하고 길이를 구합니다. 이 변을 포함하는 직선의 방정식을 구한 뒤, 나머지 한 꼭짓점(C)에서 이 직선까지의 거리를 구해 높이를 찾습니다. 넓이 = 1/2 * 밑변 * 높이로 계산합니다.
2. (방법 2: 신발끈 공식) 세 꼭짓점의 좌표를 알고 있을 때, 신발끈 공식을 이용하면 빠르고 직접적으로 넓이를 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이 아니라면 신발끈 공식이 훨씬 효율적입니다. 공식을 정확히 암기하고, 좌표를 순서대로 적고 마지막에 처음 좌표를 한 번 더 쓰는 것을 잊지 말아야 합니다.
”
평행선 위의 점으로 만든 삼각형 넓이
“
두 정점과 직선 위의 한 점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAP에서, 선분 OA를 밑변으로 고정합니다.
2. 삼각형의 높이는 꼭짓점 P에서 밑변을 포함하는 **직선 OA까지의 거리**입니다.
3. 점 P는 주어진 직선 위의 어느 점이든 상관없이, 직선 OA와 주어진 직선은 평행하므로 높이는 항상 일정합니다.
4. 따라서 높이는 원점 O와 주어진 직선 사이의 거리와 같습니다.
5. 밑변(선분 OA의 길이)과 높이(원점과 직선 사이의 거리)를 구해 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
두 직선이 평행하다는 사실을 먼저 파악하는 것이 중요합니다. 이 때문에 점 P의 위치와 관계없이 삼각형의 넓이가 일정하게 유지됩니다.
”
평행선과 삼각형 넓이 조건
“
삼각형의 넓이가 특정 값으로 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다. 269번 문제와 구조가 유사합니다.
접근법:
1. 삼각형 OAP에서 선분 OA를 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 삼각형의 높이는 점 P에서 직선 OA까지의 거리입니다.
3. 주어진 직선과 직선 OA가 평행하므로, 높이는 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 이는 **원점과 주어진 직선 사이의 거리**와도 같습니다.
4. 삼각형의 넓이 = 1/2 * (밑변 OA) * (높이 h) = 10 이라는 등식을 세웁니다.
5. 높이 h를 미지수 k를 포함한 식으로 표현하고, 등식을 풀어 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
269번과 마찬가지로, 두 직선이 평행함을 먼저 파악해야 문제의 구조가 보입니다. 넓이 공식을 이용해 높이를 역으로 구하는 문제입니다.
”
세 직선으로 둘러싸인 삼각형 넓이
“
정사각형의 성질과 평행한 두 직선의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형이므로 마주보는 두 변 AB와 CD는 서로 평행합니다. 따라서 직선 CD는 직선 AB와 기울기가 같습니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 직선 CD는 직선 AB와 평행하므로, y절편만 미지수로 설정하여 방정식을 세울 수 있습니다.
4. 정사각형의 한 변의 길이는 두 점 A, B 사이의 거리와 같습니다.
5. 또한 한 변의 길이는, 평행한 두 직선 AB와 CD 사이의 거리와도 같습니다. 이 등식을 이용해 직선 CD의 y절편을 구하고, 최종적으로 a, b 값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 변의 길이를 ‘두 점 사이의 거리’로도, ‘평행한 두 직선 사이의 거리’로도 표현할 수 있다는 점을 이용하는 것이 이 문제의 핵심 아이디어입니다.
”
평행선과 수직선의 넓이 활용
“
평행한 두 직선과 수직인 선분, 그리고 삼각형의 넓이를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 밑변 PQ의 길이는 평행한 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 거리 공식을 이용해 PQ의 길이를 구합니다.
2. 삼각형 OPQ의 넓이가 20이라고 주어졌으므로, 높이 OH(원점에서 직선 PQ까지의 거리)를 구할 수 있습니다.
3. 직선 PQ는 주어진 두 직선과 수직이므로, 기울기를 쉽게 알 수 있습니다. (기울기 -1/2)
4. 직선 PQ의 방정식을 y=-1/2x + k 로 설정하고, 원점과의 거리가 2단계에서 구한 높이와 같다는 식을 세워 k값을 구합니다.
5. 완성된 직선 PQ의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
넓이와 밑변 길이를 이용해 높이를 먼저 구하고, 그 높이(원점과의 거리)를 이용해 직선의 방정식을 완성하는 역순으로 문제를 풀어가야 합니다.
”
평행선과 사다리꼴 넓이
“
정점을 지나는 직선의 개념과 점과 직선 사이의 거리 개념이 결합된 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, 미지수 k를 포함한 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다. (k에 대해 정리하여 항등식 풀이)
2. 이제 문제는 ‘점 A와 직선 2x-y+m=0 사이의 거리가 √5이다’ 라는 간단한 문제로 바뀝니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 가능한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
문제의 전반부(정점 찾기)와 후반부(거리 공식 이용)를 명확히 구분하여 단계적으로 해결해야 합니다.
”
원점과 특정 점을 지나는 직선의 거리
“
평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하고, 사다리꼴의 넓이를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 l₁, l₂는 평행합니다. 직선 l₂의 방정식을 x-2y+a=0 (a>0) 으로 설정합니다.
2. 사다리꼴 ADCB의 넓이를 두 개의 삼각형(ADC와 ACB)의 넓이의 합으로 표현합니다.
3. 각 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 a에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 전체 넓이가 25라는 등식을 풀어 a값을 구합니다.
5. 구하려는 두 직선 사이의 거리는, l₁ 위의 한 점과 l₂ 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
사다리꼴의 넓이를 직접 구하는 것보다, 공통 밑변을 갖는 두 삼각형의 넓이 합으로 구하는 것이 계산이 더 편리할 수 있습니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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특정 점을 지나고 기울기가 미지수인 직선과 원점 사이의 거리가 주어졌을 때, 기울기를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,3)을 지나고 기울기가 k인 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세우고, 일반형으로 정리합니다.
2. 원점 (0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 거리가 √5와 같다고 등식을 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 k에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
분모에 루트와 미지수가 함께 들어가는 방정식이므로, 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 점과 직선 거리
“
넓이가 같은 삼각형의 기하학적 성질을 이용하는 문제입니다. 192, 195번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 D에서 직선 AC까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 BD가 직선 AC와 **평행**함을 의미합니다.
4. 직선 AC의 기울기와 직선 BD의 기울기가 같다고 등식을 세워, 점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 직선 AD의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건이 있으므로, 평행 조건을 만족하는 점이 해당 범위에 있는지 확인해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 원점 거리 최댓값
