“
기하학적 관계와 점과 직선 사이의 거리를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 B의 좌표를 (a, 0)으로 설정합니다.
2. 선분 BH의 길이는 8-a 입니다.
3. 선분 BI의 길이는 점 B(a,0)에서 직선 OA까지의 거리입니다. 직선 OA의 방정식을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 BI를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. BH=BI 라는 조건으로 등식을 세워 a값을 구하면 점 B의 좌표가 확정됩니다.
5. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
문제에 주어진 BH=BI라는 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 핵심입니다. 각 선분의 길이가 무엇을 의미하는지(좌표의 차, 점과 직선 사이의 거리)를 파악해야 합니다.
”
주어진 직선에 평행하고 거리가 주어진 직선
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 대수적 풀이)** 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다. 이 식이 최대가 되려면 분모가 최소가 되어야 합니다. 분모에 있는 k에 대한 이차식의 최솟값을 이용해 답을 구합니다.
2. **(방법 2: 기하학적 풀이)** 먼저 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 P를 구합니다. 이 문제는 원점 O에서 정점 P를 지나는 수많은 직선까지의 거리를 묻는 것과 같습니다. 거리는 직선이 **선분 OP와 수직일 때 최대**가 되며, 그 최댓값은 바로 **선분 OP의 길이**입니다.
주의할 점:
기하학적 풀이(방법 2)가 훨씬 간단하고 직관적입니다. ‘정점을 지나는 직선과 한 점 사이의 거리의 최댓값은 두 점 사이의 거리’라는 사실을 반드시 기억해두세요.
”
정점과 원점 거리 최댓값과 그 때의 k값
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주어진 직선에 평행하고, 특정 점에서의 거리가 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선과 평행하므로, 구하려는 직선의 기울기는 같습니다. 방정식의 x, y 계수 부분을 그대로 사용하고 상수항만 미지수로 설정합니다. (예: 3x-4y+k=0)
2. 점 (2,1)과 이 직선 사이의 거리가 1이라는 조건을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
3. k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 k값을 모두 찾습니다.
4. ‘y절편이 양수’라는 조건에 맞는 k값을 선택하여 직선의 방정식을 완성하고, 최종적으로 y절편을 구합니다.
주의할 점:
평행한 직선의 방정식을 설정할 때, ax+by+k=0 과 같이 상수항만 미지수로 두면 계산이 편리합니다.
”
주어진 직선에 수직이고 거리가 주어진 직선
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259번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 원점 O와 직선 사이의 거리가 최대가 될 때는, 그 거리가 **선분 OP의 길이**와 같을 때입니다. 최댓값 b는 선분 OP의 길이입니다.
3. 거리가 최대가 되는 직선은 선분 OP에 수직입니다. 직선 OP의 기울기를 구한 뒤, 수직 기울기를 찾습니다.
4. 정점 P를 지나고 수직 기울기를 갖는 직선이 되도록 하는 k값을 찾아 a를 구합니다.
주의할 점:
최댓값뿐만 아니라, 최댓값을 갖게 하는 k값까지 구해야 합니다. 이는 거리가 최대가 되는 순간의 직선이 어떤 직선인지를 특정해야 함을 의미합니다.
”
정점과 한 점 사이 거리 최댓값의 기울기
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주어진 직선에 수직이고, 특정 점에서의 거리가 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선과 수직이므로, 기울기는 음수의 역수가 됩니다. x와 y의 계수를 바꾸고 한쪽의 부호를 바꾸어 직선의 방정식을 설정합니다. (예: 3x+4y+k=0)
2. 점 (1,-1)과 이 직선 사이의 거리가 1이라는 조건을 이용해 k값을 구합니다.
3. ‘y절편이 양수’라는 조건에 맞는 k값을 선택하여 직선의 방정식을 완성하고 y절편을 구합니다.
주의할 점:
ax+by+c=0에 수직인 직선은 bx-ay+k=0 형태로 빠르게 설정할 수 있는 스킬을 익혀두면 편리합니다.
”
수직이고 원점 거리가 주어진 직선
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주어진 직선에 수직이고, 원점으로부터의 거리가 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선에 수직인 직선의 방정식을 상수항만 미지수로 하여 설정합니다.
2. 원점 (0,0)과 이 직선 사이의 거리가 √2 라는 조건을 이용해 미지수 k값을 구합니다. (두 개의 값이 나옴)
3. ‘제4사분면을 지나지 않는다’는 조건은, 직선의 기울기가 양수일 때 y절편이 0보다 크거나 같아야 함을 의미합니다. 이 조건에 맞는 k값을 선택합니다.
4. 완성된 직선의 y절편을 구합니다.
주의할 점:
‘제4사분면을 지나지 않는다’와 같은 기하학적 조건을 기울기와 y절편의 부호 조건으로 변환할 수 있어야 합니다.
”
교점을 지나고 수직인 직선과의 거리
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두 직선의 교점을 지나고 다른 직선에 수직인 직선과, 한 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 세 번째 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다.
3. 1단계의 교점을 지나고 2단계의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 이 직선과 점 (0,3) 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 기본 개념이 순차적으로 결합된 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 하여 최종 답을 구해야 합니다.
”
교점을 지나고 거리가 주어진 직선
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두 직선의 교점을 지나고 특정 점에서의 거리가 주어진 직선의 방정식을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점을 먼저 구합니다.
2. 구하려는 직선은 이 교점을 지나므로, 기울기 m만 미지수로 설정하여 직선의 방정식을 세울 수 있습니다.
3. 점 (1,2)와 이 직선 사이의 거리가 1이라는 조건을 이용해 m에 대한 방정식을 풉니다.
4. 구한 m값을 직선의 방정식에 다시 대입하여 완성하고, 문제의 형태에 맞게 계수를 비교합니다.
주의할 점:
점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면 분모에 루트가 포함된 복잡한 방정식이 나옵니다. 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 좌표 추론
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복잡한 조건이 주어졌지만, 기하학적 해석을 통해 문제를 단순화하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건 해석: 삼각형 OPR의 넓이는 1/2 * 밑변 * 높이입니다. 밑변 PR의 길이는 b에 대한 식으로, 높이는 원점과 직선 y=x-2 사이의 거리(상수)로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 b값을 먼저 확정합니다.
2. (나) 조건 해석: 두 원의 넓이 비가 1:4이므로, 지름의 길이 비, 즉 PQ:QR은 1:2 입니다.
3. 점 Q는 선분 PR을 1:2로 내분하는 점입니다. 확정된 P, R 좌표와 내분점 공식을 이용해 점 Q의 좌표를 구하고, 이를 통해 a값을 찾습니다.
주의할 점:
각각의 조건이 무엇을 의미하는지 기하학적, 대수적으로 정확히 해석하고 연결하는 능력이 필요합니다. 특히 넓이 조건을 거리와 선분 길이로 변환하는 과정이 중요합니다.
”
평행한 두 직선 사이의 거리
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평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 사이의 거리는 |c₁-c₂| / √(a²+b²) 입니다.
2. 주어진 두 직선의 방정식을 이 형태에 맞게 변형합니다.
3. 거리 공식을 적용하여 두 직선 사이의 거리가 √5 라고 등식을 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 가능한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
공식을 사용하지 않을 경우, 한 직선 위의 임의의 점(예: x=0일 때의 점)을 잡고, 그 점과 다른 직선 사이의 거리를 구해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
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평행한 두 직선 사이의 거리와 조건
