“
정점을 지나는 직선의 개념과 점과 직선 사이의 거리 개념이 결합된 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, 미지수 k를 포함한 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다. (k에 대해 정리하여 항등식 풀이)
2. 이제 문제는 ‘점 A와 직선 2x-y+m=0 사이의 거리가 √5이다’ 라는 간단한 문제로 바뀝니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 가능한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
문제의 전반부(정점 찾기)와 후반부(거리 공식 이용)를 명확히 구분하여 단계적으로 해결해야 합니다.
”
원점과 특정 점을 지나는 직선의 거리
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평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하고, 사다리꼴의 넓이를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 l₁, l₂는 평행합니다. 직선 l₂의 방정식을 x-2y+a=0 (a>0) 으로 설정합니다.
2. 사다리꼴 ADCB의 넓이를 두 개의 삼각형(ADC와 ACB)의 넓이의 합으로 표현합니다.
3. 각 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 a에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 전체 넓이가 25라는 등식을 풀어 a값을 구합니다.
5. 구하려는 두 직선 사이의 거리는, l₁ 위의 한 점과 l₂ 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
사다리꼴의 넓이를 직접 구하는 것보다, 공통 밑변을 갖는 두 삼각형의 넓이 합으로 구하는 것이 계산이 더 편리할 수 있습니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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특정 점을 지나고 기울기가 미지수인 직선과 원점 사이의 거리가 주어졌을 때, 기울기를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,3)을 지나고 기울기가 k인 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세우고, 일반형으로 정리합니다.
2. 원점 (0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 거리가 √5와 같다고 등식을 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 k에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
분모에 루트와 미지수가 함께 들어가는 방정식이므로, 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 점과 직선 거리
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넓이가 같은 삼각형의 기하학적 성질을 이용하는 문제입니다. 192, 195번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 D에서 직선 AC까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 BD가 직선 AC와 **평행**함을 의미합니다.
4. 직선 AC의 기울기와 직선 BD의 기울기가 같다고 등식을 세워, 점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 직선 AD의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건이 있으므로, 평행 조건을 만족하는 점이 해당 범위에 있는지 확인해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 원점 거리 최댓값
“
정점을 지나는 직선의 성질에 대한 종합적인 이해를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 직선 l₂를 m에 대해 정리하여 정점의 좌표를 구합니다.
2. (보기 ㄴ) m=-1을 직선 l₂에 대입하여 방정식을 구하고, 직선 l₁과의 기울기 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선이 제2사분면에서 만나기 위한 기울기 m의 범위를 찾습니다. 이는 정점(l₂가 항상 지나는 점)과 l₁의 x, y절편을 경계로 하여 범위를 구하는 222번 문제와 동일합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선의 활용법(좌표 찾기, 특정 조건 만족, 영역 통과)을 모두 물어보는 문제입니다. 각 보기에서 요구하는 바를 정확히 파악해야 합니다.
”
점과 수직이등분선 사이의 거리
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원점과 선분의 수직이등분선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수직이등분선 구하기) 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
– 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
– 직선 AB의 기울기를 구하고, 그것에 수직인 기울기를 찾습니다.
– 중점 M을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 완성합니다.
2. (거리 구하기) 원점(0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 구합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 구하는 과정과 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 과정, 두 가지 기본기를 모두 정확하게 수행해야 합니다.
”
점과 직선 위의 점 사이 거리 최솟값
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한 점에서 직선까지의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A에서 직선 l 위의 점 P까지의 거리 AP가 최소가 되는 경우는, 선분 AP가 직선 l과 **수직**일 때입니다.
2. 따라서 문제에서 요구하는 최솟값은 **점 A와 직선 l 사이의 거리**와 같습니다.
3. 먼저 두 점(-2,0), (2,2)를 지나는 직선 l의 방정식을 구합니다.
4. 점 A(2,-3)와 3단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
‘점과 직선 위의 점 사이의 거리의 최솟값’은 ‘점과 직선 사이의 거리’와 같다는 기하학적 의미를 이해하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심과 평행선 사이의 거리
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삼각형의 무게중심을 지나고 특정 변에 평행한 직선과, 다른 한 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선 l은 AB와 평행하므로 기울기가 같습니다.
4. 점 G를 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 l의 방정식을 구합니다.
5. 점 (4,3)과 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 개념(무게중심, 평행, 점과 직선 사이의 거리)이 순차적으로 연결된 문제입니다. 각 단계별로 필요한 정보를 정확히 계산하여 다음 단계로 넘어가야 합니다.
”
두 점에서 내린 수선의 발 사이 거리
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두 점에서 한 직선에 내린 수선의 발 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수선의 발 P 찾기) 원점 O에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 P의 좌표를 구합니다. (원점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
2. (수선의 발 Q 찾기) 점 A(2,0)에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 Q의 좌표를 구합니다. (점 A를 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
3. 두 점 P, Q의 좌표가 확정되었으므로, 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
계산 과정이 매우 긴 문제입니다. 수선의 발을 두 번 구해야 하므로 계산 실수가 없도록 각별히 주의해야 합니다. 다른 기하학적 풀이(사다리꼴 활용 등)도 가능하지만, 좌표를 직접 구하는 것이 정석입니다.
”
수선의 발 좌표로 사다리꼴 넓이 구하기
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사다리꼴의 넓이를 구하는 문제입니다. 두 평행한 변을 밑변으로, 그리고 두 변 사이의 거리를 높이로 생각할 수 있으나, 이 문제에서는 각 점의 좌표를 구해 해결합니다.
접근법:
1. 점 O, A는 좌표가 주어졌습니다.
2. 점 C는 원점에서 직선에 내린 수선의 발, 점 B는 점 A에서 직선에 내린 수선의 발입니다.
3. 각각의 수선의 발 B, C의 좌표를 구합니다. (231번 문제의 과정과 동일)
4. 네 점 O, A, B, C의 좌표를 알았으므로, 사다리꼴의 넓이를 구합니다. (예: 전체 사각형에서 불필요한 삼각형 빼기 또는 신발끈 공식 활용)
주의할 점:
이 사다리꼴은 두 변(OC, AB)이 서로 수직이므로, 넓이 공식 (1/2 * (OC+AB) * BC)을 사용하기 위해 각 선분의 길이를 구하는 것이 더 효율적입니다.
”
점과 직선 거리로 삼각형 넓이 구하기
