“
한 점에서 직선까지의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A에서 직선 l 위의 점 P까지의 거리 AP가 최소가 되는 경우는, 선분 AP가 직선 l과 **수직**일 때입니다.
2. 따라서 문제에서 요구하는 최솟값은 **점 A와 직선 l 사이의 거리**와 같습니다.
3. 먼저 두 점(-2,0), (2,2)를 지나는 직선 l의 방정식을 구합니다.
4. 점 A(2,-3)와 3단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
‘점과 직선 위의 점 사이의 거리의 최솟값’은 ‘점과 직선 사이의 거리’와 같다는 기하학적 의미를 이해하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심과 평행선 사이의 거리
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삼각형의 무게중심을 지나고 특정 변에 평행한 직선과, 다른 한 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선 l은 AB와 평행하므로 기울기가 같습니다.
4. 점 G를 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 l의 방정식을 구합니다.
5. 점 (4,3)과 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 개념(무게중심, 평행, 점과 직선 사이의 거리)이 순차적으로 연결된 문제입니다. 각 단계별로 필요한 정보를 정확히 계산하여 다음 단계로 넘어가야 합니다.
”
두 점에서 내린 수선의 발 사이 거리
“
두 점에서 한 직선에 내린 수선의 발 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수선의 발 P 찾기) 원점 O에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 P의 좌표를 구합니다. (원점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
2. (수선의 발 Q 찾기) 점 A(2,0)에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 Q의 좌표를 구합니다. (점 A를 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
3. 두 점 P, Q의 좌표가 확정되었으므로, 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
계산 과정이 매우 긴 문제입니다. 수선의 발을 두 번 구해야 하므로 계산 실수가 없도록 각별히 주의해야 합니다. 다른 기하학적 풀이(사다리꼴 활용 등)도 가능하지만, 좌표를 직접 구하는 것이 정석입니다.
”
수선의 발 좌표로 사다리꼴 넓이 구하기
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사다리꼴의 넓이를 구하는 문제입니다. 두 평행한 변을 밑변으로, 그리고 두 변 사이의 거리를 높이로 생각할 수 있으나, 이 문제에서는 각 점의 좌표를 구해 해결합니다.
접근법:
1. 점 O, A는 좌표가 주어졌습니다.
2. 점 C는 원점에서 직선에 내린 수선의 발, 점 B는 점 A에서 직선에 내린 수선의 발입니다.
3. 각각의 수선의 발 B, C의 좌표를 구합니다. (231번 문제의 과정과 동일)
4. 네 점 O, A, B, C의 좌표를 알았으므로, 사다리꼴의 넓이를 구합니다. (예: 전체 사각형에서 불필요한 삼각형 빼기 또는 신발끈 공식 활용)
주의할 점:
이 사다리꼴은 두 변(OC, AB)이 서로 수직이므로, 넓이 공식 (1/2 * (OC+AB) * BC)을 사용하기 위해 각 선분의 길이를 구하는 것이 더 효율적입니다.
”
점과 직선 거리로 삼각형 넓이 구하기
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직각삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 세 변의 길이를 먼저 구해야 합니다.
접근법:
1. 선분 AH의 길이는 **점 A와 주어진 직선 사이의 거리**와 같습니다. 이 값을 먼저 구합니다.
2. 문제에서 AP = 2AH 라는 관계를 주었으므로, 선분 AP의 길이를 구할 수 있습니다.
3. 삼각형 AHP는 각 H가 90도인 직각삼각형입니다.
4. 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변 PH의 길이를 구합니다.
5. 삼각형 AHP의 넓이는 1/2 * AH * PH 로 계산합니다.
주의할 점:
점 P, H의 좌표를 직접 구하지 않고도, 점과 직선 사이의 거리 공식과 피타고라스 정리만으로 세 변의 길이를 모두 알아내어 넓이를 구할 수 있습니다.
”
정삼각형의 높이와 한 변의 길이
“
정삼각형의 높이를 이용해 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 한 변의 길이를 a라고 하면, 높이 h는 (√3/2) * a 입니다.
2. 정삼각형의 높이는 꼭짓점 A에서 밑변 BC(직선 y=x-1)까지의 거리와 같습니다.
3. **점 A와 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다. 이 값이 바로 높이 h입니다.
4. 1단계의 관계식에 h값을 대입하여 한 변의 길이 a를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이 공식을 정확히 알고 있어야 합니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 통해 높이를 먼저 구하는 것이 문제 해결의 순서입니다.
”
정삼각형의 높이를 이용한 넓이
“
234번 문제와 동일한 원리입니다. 정삼각형의 높이를 이용해 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 정삼각형의 높이 h를 구합니다. 높이는 꼭짓점 A와 직선(변 BC) 사이의 거리와 같습니다.
2. 정삼각형의 한 변의 길이를 a라고 할 때, 높이 h = (√3/2) * a 라는 관계를 이용해 한 변의 길이 a를 구합니다.
3. 정삼각형의 넓이 공식, 즉 (√3/4) * a² 에 a값을 대입하여 넓이를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이 공식과 넓이 공식을 모두 알고 있어야 합니다. 높이를 먼저 구한 뒤, 그것을 이용해 변의 길이나 넓이를 구하는 흐름을 기억하세요.
”
꼭짓점과 직선 거리로 정사각형 넓이
“
한 꼭짓점과 그 꼭짓점을 포함하지 않는 변(또는 그 연장선)이 주어졌을 때, 정사각형의 넓이를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형의 한 변의 길이를 k라고 하면, 넓이는 k² 입니다.
2. 정사각형의 한 변(선분 AB 또는 CD)은 주어진 직선 l 위에 있습니다.
3. 꼭짓점 A(a,6)과 직선 l 사이의 거리는 정사각형의 높이와 같으며, 이는 **한 변의 길이 k**와 같습니다.
4. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 이 문제에서는 정사각형의 넓이가 주어졌으므로, 한 변의 길이를 알 수 있고, 이를 통해 a값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변(을 포함하는 직선)까지의 거리가 바로 한 변의 길이가 된다는 기하학적 관계를 이용하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심과 직선 사이의 거리
“
218번 문제와 동일하게, 두 직선의 교점을 지나고 다른 직선에 평행한 직선의 y절편을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 평행해야 할 직선의 기울기를 구합니다.
3. 1단계의 교점을 지나고 2단계의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 y절편(상수항)을 찾습니다.
주의할 점:
기본적인 개념들을 순서대로 정확하게 적용하는 능력을 묻는 문제입니다. 최종적으로 무엇을 묻는지(y절편) 확인하고 답해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 사분면 교점
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무게중심 좌표와, 그 무게중심과 특정 직선 사이의 거리가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 O, A, B의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다. (문제에서는 G가 주어졌으므로, 이를 통해 꼭짓점 B의 좌표를 구합니다.)
2. 두 점 O, A를 지나는 직선 OA의 방정식을 구합니다.
3. 점 G(5,b)와 직선 OA 사이의 거리가 √5 라는 조건을 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 b값을 찾고, 최종적으로 a+b를 계산합니다.
주의할 점:
무게중심 좌표 공식을 먼저 활용하여 모든 점의 좌표를 확정한 뒤, 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 순서로 풀어야 합니다.
”
점과 직선 사이 거리 조건
