“
정점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 152번 문제와 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. 이 정점이 삼각형의 꼭짓점 중 하나(A(2,1))임을 확인합니다.
2. 꼭짓점 A를 지나는 직선이 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하려면, 반드시 대변 BC의 중점 M을 지나야 합니다.
3. 두 점 B, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 직선이 중점 M을 지나야 하므로, M의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 먼저 찾고, 그 정점이 삼각형의 꼭짓점인지 확인하는 것이 풀이의 첫 단계입니다. 만약 꼭짓점이 아니라면 넓이를 직접 계산해야 하는 복잡한 문제가 됩니다.
”
정점을 지나는 직사각형 넓이 이등분선
“
정점을 지나는 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (4,-6))
2. 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)을 지나야 합니다.
3. 따라서 1단계에서 구한 정점 (4,-6)이 바로 직사각형 대각선의 교점입니다.
4. 대각선의 교점은 마주보는 두 꼭짓점(A와 C)의 중점과 같습니다. 중점 공식을 이용해 a, b값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선과 도형의 넓이 이등분 문제가 결합된 유형입니다. 각 도형의 넓이를 이등분하는 점이 어디인지(삼각형: 대변의 중점, 직사각형: 대각선의 교점)를 명확히 알아야 합니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
“
정점을 지나는 직선의 성질에 대한 종합적인 이해를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 직선 l₂를 m에 대해 정리하여 정점의 좌표를 구합니다.
2. (보기 ㄴ) m=-1을 직선 l₂에 대입하여 방정식을 구하고, 직선 l₁과의 기울기 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선이 제2사분면에서 만나기 위한 기울기 m의 범위를 찾습니다. 이는 정점(l₂가 항상 지나는 점)과 l₁의 x, y절편을 경계로 하여 범위를 구하는 222번 문제와 동일합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선의 활용법(좌표 찾기, 특정 조건 만족, 영역 통과)을 모두 물어보는 문제입니다. 각 보기에서 요구하는 바를 정확히 파악해야 합니다.
”
점과 수직이등분선 사이의 거리
“
원점과 선분의 수직이등분선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수직이등분선 구하기) 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
– 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
– 직선 AB의 기울기를 구하고, 그것에 수직인 기울기를 찾습니다.
– 중점 M을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 완성합니다.
2. (거리 구하기) 원점(0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 구합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 구하는 과정과 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 과정, 두 가지 기본기를 모두 정확하게 수행해야 합니다.
”
점과 직선 위의 점 사이 거리 최솟값
“
212번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) k=2를 직접 대입하여 나온 직선의 방정식이 x=상수 형태(y축 평행)인지, y=상수 형태(x축 평행)인지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) k=3을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 수직 여부를 기울기의 곱이 -1인지 확인하여 판단합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-1을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 평행/일치 여부를 확인하여 만나는 점이 있는지 판단합니다.
주의할 점:
각 보기는 서로 다른 k값에 대한 특정 상황을 묻고 있습니다. k값을 정확히 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 조건을 만족하는지 확인하면 됩니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
“
두 개의 정점을 지나는 직선들의 위치 관계에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) a=0일 때의 두 직선 l, m의 방정식을 각각 구하고, 두 직선이 수직인지 기울기를 통해 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선 l의 방정식을 미지수 a에 대해 정리하여, a값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 구합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선 l, m이 평행할 조건을 식으로 세워봅니다. 이 방정식을 만족하는 실수 a값이 존재하는지 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 풀 때, a=0인 경우와 a≠0인 경우를 나누어 생각해야 합니다. a=0일 때는 ㄱ에서 이미 수직임을 확인했으므로 평행이 아니며, a≠0일 때 평행 조건을 만족하는 실수가 없는지를 보여주면 됩니다.
”
두 직선의 교점을 지나는 직선
“
두 직선의 교점과 또 다른 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 정석적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 직접 구합니다. 그 후, 이 교점과 주어진 점 (-1,1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (방법 2) ‘두 직선의 교점을 지나는 직선’의 공식, 즉 (직선1) + k(직선2) = 0 형태를 이용합니다. 이 식에 점 (-1,1)의 좌표를 대입하여 k값을 찾고, k값을 다시 대입하여 직선의 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
두 가지 방법 모두 가능하지만, 교점의 좌표가 정수로 깔끔하게 나올 경우 방법 1이 더 직관적이고 빠를 수 있습니다.
”
두 직선 교점과 절편으로 선분 길이 구하기
“
215번 문제와 동일하게 두 직선의 교점과 다른 한 점을 지나는 직선을 구한 뒤, 그 직선의 선분 길이를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식을 풀어 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편(점 A)과 y절편(점 B)을 각각 구합니다.
4. 두 점 A, B 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
선분 AB의 길이는 x절편과 y절편을 각각 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변 길이와 같으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빠르게 구할 수도 있습니다.
”
두 직선 교점과 축으로 둘러싸인 넓이
“
이차함수의 접선과 그 접선에 수직인 직선(법선)의 방정식을 구하고, 이를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (접선 구하기) 점 P(1,1)을 지나는 직선이 이차함수에 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0 임을 이용해 접선의 기울기를 찾습니다.
2. (법선 구하기) 법선은 접선과 수직이므로, 접선의 기울기를 이용해 법선의 기울기(음수의 역수)를 구하고 방정식을 세웁니다.
3. (교점/절편 찾기) 접선의 y절편(Q), 법선과 이차함수의 또 다른 교점(R)의 좌표를 각각 구합니다.
4. (넓이 계산) 세 점 P, Q, R의 좌표를 이용해 ‘신발끈 공식’ 등으로 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
수학II 과정에서는 미분을 사용하지 않으므로, 이차함수의 접선은 판별식을 이용해 구하는 연습이 필요합니다. 계산 과정이 길기 때문에 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
”
한 점에서 직선에 내린 수선의 발
“
두 직선의 교점을 지나고, 좌표축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-5)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편과 y절편을 찾습니다.
4. 삼각형의 넓이 공식(1/2 * |x절편| * |y절편|)을 이용해 넓이를 구합니다.
주의할 점:
216번 문제와 거의 동일한 흐름의 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 하는 것이 중요하며, 특히 절편을 구할 때 부호에 유의해야 합니다.
”
두 직선 교점과 평행한 직선
