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평행이동한 직선과 원래 직선 사이의 거리가 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축으로 1, y축으로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이제 원래 직선과 평행이동한 직선, 이렇게 두 개의 평행한 직선이 생겼습니다.
3. **평행한 두 직선 사이의 거리**가 √5 라는 등식을 세웁니다. (거리 공식: |c₁-c₂|/√(a²+b²))
4. b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 ‘양수 b’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하거나, 한 직선 위의 점과 다른 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 이용할 수 있습니다.
”
평행이동한 직선 사이의 거리
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평행이동한 직선이 다른 두 직선과 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는, **(1) 두 직선 이상이 평행**하거나 **(2) 세 직선이 한 점에서 만나는** 경우입니다.
2. 먼저, x-2y=0을 평행이동한 직선 x-2y-a=0의 방정식을 구합니다.
3. **(경우 1: 평행)** 이 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 찾습니다. (이 문제에서는 기울기가 모두 달라 평행한 경우는 없습니다.)
4. **(경우 2: 한 점)** 미지수가 없는 두 직선의 교점을 먼저 구합니다. 이 교점을 평행이동한 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계 문제는 항상 ‘평행’과 ‘한 점 교차’라는 두 가지 핵심적인 경우를 나누어 생각하는 것이 기본입니다.
”
평행이동한 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 특정 점을 지날 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 y=kx+1을 x축으로 1만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. (y 대신 y+2, x 대신 x-1 대입)
2. 1단계에서 구한 직선이 점 (3,1)을 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 직선의 방정식에 **대입**합니다.
3. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동 시 부호를 반대로 대입하는 규칙(x→x-a, y→y-b)을 정확히 적용해야 합니다.
”
기울기가 주어진 직선의 평행이동
“
평행이동한 직선이 원과 접할(한 점에서 만날) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=2x+k를 주어진 규칙에 따라 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=5에 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √5와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 가능한 모든 k값을 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
531번 문제와 동일한 유형입니다. 절댓값 방정식의 해는 두 개가 나올 수 있음을 유의해야 합니다.
”
평행이동한 직선이 원에 접할 조건
“
접선과 수선(법선), 그리고 이등변삼각형의 조건이 결합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 지나고 접선 l에 수직인 직선은 원의 중심을 지납니다. 따라서 선분 PQ는 원의 지름이 됩니다.
2. 삼각형 APQ에서 각 APQ는 90도입니다. (접선과 반지름은 수직)
3. 이 직각삼각형이 이등변삼각형이 되려면, **AP = PQ** 여야 합니다.
4. AP는 접선의 길이, PQ는 지름(2r)입니다. 접선의 길이는 피타고라스 정리(AP² = OA² – r²)로 구할 수 있습니다.
5. AP² = PQ² 라는 등식, 즉 OA² – r² = (2r)² 을 풀어 원의 반지름 r을 찾고, 이를 이용해 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 기하학적 성질(접선, 수선, 직각삼각형, 이등변삼각형)을 순서대로 적용하여 문제의 조건을 식으로 변환하는 능력이 필요합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 복합 문제
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두 도형의 대응하는 점을 통해 평행이동 규칙을 찾고, 이를 다른 점들에 적용하여 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형의 대응점인 A(-5,8)과 A'(4,10)을 비교하여, x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지 찾습니다.
2. 이 평행이동 규칙을 점 B(1,1)와 C(3,4)에 적용하여, 평행이동된 점 B’과 C’의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 B’, C’의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 방정식을 문제에서 주어진 형태와 비교하여 계수 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 읽을 때 부호를 실수하지 않도록 주의하고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 기본 계산을 정확히 해야 합니다.
”
평행이동 규칙으로 직선의 방정식 구하기
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움직이는 점 A에 의해 결정되는 삼각형의 무게중심이 그리는 자취와, 그 자취(원) 위의 점과 직선 사이의 거리의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 무게중심 G의 자취의 방정식을 구합니다. (352번 문제 참고) 이 자취는 반지름이 원래 원의 1/3로 축소되고 중심이 이동한 새로운 원이 됩니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 원 위의 점 P’와 ‘직선 x+y-2=0’ 사이의 거리의 최대/최소 문제로 바뀝니다.
3. 최댓값 M = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) + (새로운 원의 반지름)
4. 최솟값 m = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) – (새로운 원의 반지름)
5. M과 m을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
자취의 방정식이 원이 된다는 점, 그리고 원과 직선 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 종합 문제입니다.
”
이차함수와 정사각형 조건
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내분점과 중점의 자취가 그리는 도형의 길이를 구하는 문제입니다. 351번과 유사합니다.
접근법:
1. (1번 문제) 내분점 P를 (x,y), 원 위의 점 B를 (a,b)로 둡니다. 내분점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 P의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
2. (2번 문제) 중점 M을 (x,y), 원 위의 점 P를 (a,b)로 둡니다. 중점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 M의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
주의할 점:
내분점의 자취는 원래 원을 (n/(m+n)) 비율로 축소한 원이 되고, 중점의 자취는 반지름이 절반인 원이 됩니다. 이 성질을 이용하면 자취의 반지름을 빠르게 구할 수 있습니다.
”
내분점과 교점, 넓이의 증명
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원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 AB가 점 P에서만 만나므로, 직선 AB는 원의 접선이고 P는 접점입니다.
2. (점 P 찾기) 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
3. (직선 AB 찾기) 두 점 A, B의 좌표를 이용해 직선 AB의 방정식을 구합니다.
4. (접선 조건 이용) 원의 중심 (a,b)와 접선 AB 사이의 거리는 반지름과 같습니다. 또한 중심 (a,b)에서 접점 P까지의 거리도 반지름입니다. 이 두 조건을 연립하여 a, b를 구합니다.
주의할 점:
‘한 점에서만 만난다’는 표현을 ‘접한다’로 해석하는 것이 중요합니다. 접선의 문제는 항상 중심, 접점, 반지름 사이의 기하학적 관계를 이용합니다.
”
교점과 수직, 삼각형 넓이 증명
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여러 조건을 만족하는 원의 방정식을 찾고, 그 원과 특정 직선의 교점 사이의 거리(현의 길이)를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 원이 원점을 지나므로, 원의 방정식에 (0,0)을 대입하여 a와 c의 관계를 찾습니다. (이 문제에서는 a²-9=0)
2. (나) 조건: 원이 직선 y=-2와 서로 다른 두 점에서 만나므로, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 반지름보다 작아야 합니다. 이 조건을 이용해 가능한 a값을 확정합니다.
3. 원의 방정식이 완전히 결정되면, 이 원과 직선 y=-2의 교점을 찾습니다.
4. 두 교점의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
여러 조건을 순서대로 적용하여 원의 방정식을 먼저 확정하는 것이 중요합니다. ‘만난다’, ‘접한다’, ‘만나지 않는다’의 조건을 명확히 구분해야 합니다.
”
각의 이등분선과 접하는 원
