“
두 점의 이동 전후 관계를 통해 평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A가 점 A’으로 어떻게 이동했는지 x, y좌표의 변화량을 각각 계산하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. 이 규칙을 점 B와 B’의 관계에 적용하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
3. 이제 평행이동 규칙(α, β)과 옮길 점(a,b)의 좌표를 모두 알았습니다.
4. 점 (a,b)에 평행이동 규칙을 적용하여 최종적으로 옮겨지는 점의 좌표 (p,q)를 구합니다.
주의할 점:
평행이동 규칙을 찾을 때는 ‘나중 좌표 – 처음 좌표’로 계산해야 합니다. A→A’과 B→B’은 동일한 평행이동 규칙을 따릅니다.
”
평행이동 규칙으로 다른 점의 좌표 찾기
“
x축에 접하는 원의 중심이 이차함수 위에 있고, 또 다른 직선에도 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a, b)라 하면, 중심이 이차함수 위에 있으므로 b=a²+1 입니다.
2. 원이 x축에 접하므로 반지름 r = |중심의 y좌표| = |a²+1| 입니다. a²+1은 항상 양수이므로 r=a²+1 입니다.
3. 이 원이 직선 4x-3y-3=0 과도 접하므로, 원의 중심 (a, a²+1)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 a²+1과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a에 대한 이차방정식이 나오며, 두 근이 두 원의 중심 x좌표가 됩니다.
5. 두 원의 반지름은 각각의 a값에 대해 계산되므로, 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 개의 조건을 종합하여 하나의 미지수(a)에 대한 방정식으로 귀결시키는 과정이 핵심입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
세 직선 교점으로 내심 구하기
“
점의 평행이동 후 원점으로부터의 거리가 변하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 처음 점 A(3,-4)와 원점 사이의 거리 OA를 구합니다.
2. 점 A를 평행이동한 점 A’의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 점 A’과 원점 사이의 거리 OA’를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. 문제의 조건 ‘나중 거리가 처음 거리의 2배’ 즉, OA’ = 2 * OA 라는 등식을 세웁니다.
5. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하여 a에 대한 이차방정식을 풀고, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
거리 공식을 사용할 때 루트가 생기므로, 양변을 제곱하여 푸는 것이 계산 실수를 줄이는 방법입니다. 이차방정식이 나오므로 해가 여러 개일 수 있음을 인지해야 합니다.
”
평행이동 후 원점과의 거리 관계
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한 원의 넓이를 이등분하는 두 직선이 다른 원에 접할 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 두 직선은 모두 첫 번째 원의 중심 (6,0)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (6,0)에서 두 번째 원(x²+y²=9)에 그은 두 접선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 이 두 접선과 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구합니다. 두 접선은 x축에 대해 대칭이므로, y절편은 부호만 다릅니다. 이를 이용해 밑변과 높이를 쉽게 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
선대칭을 이용한 최단 거리
“
평행이동 후 두 점 사이의 거리와, 이동한 점과 직선 사이의 거리라는 두 가지 조건을 연립하는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1) 점 A(5,3)과 평행이동한 점 B(5+a, 3+b) 사이의 거리가 4라는 식을 세웁니다. (a²+b²=16)
2. (조건 2) 점 B와 직선 x+y-8=0 사이의 거리가 √2 라는 식을 세웁니다. (점과 직선 사이 거리 공식 이용)
3. 2단계에서 a+b의 값을 구할 수 있습니다.
4. 곱셈 공식의 변형 (a²+b² = (a+b)²-2ab)을 이용하여 1, 3단계에서 구한 값으로 ab의 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 조건을 각각 식으로 정확히 옮기는 것이 중요합니다. 특히 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
두 평행이동 조건과 점과 직선 사이 거리
“
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 같다는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 x축 위의 점 (a,0)으로 설정합니다.
2. **(접선 PQ 길이)** 직각삼각형을 이용합니다. PQ² = (P와 C₁중심간 거리)² – (C₁반지름)² 입니다.
3. **(접선 PR 길이)** 마찬가지로 PR² = (P와 C₂중심간 거리)² – (C₂반지름)² 입니다.
4. 주어진 조건 PQ=PR, 즉 PQ²=PR² 이라는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식은 a에 대한 간단한 일차방정식이 되며, 이를 풀어 점 P의 x좌표를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 점에서 접점까지의 길이를 구할 때, 항상 원의 중심을 연결하여 피타고라스 정리를 사용하는 것을 기억해야 합니다.
”
곡선 밖 두 접선이 수직일 조건
“
삼각형을 평행이동시켰을 때, 무게중심 또한 동일한 평행이동 규칙을 따른다는 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1) 세 점 A,B,C를 각각 평행이동한 점 A’,B’,C’의 좌표를 구한 뒤, 이 세 점으로 무게중심을 구해 주어진 좌표와 비교합니다.
2. (방법 2 – 더 효율적) 먼저 원래 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다. 그 후, 이 무게중심 G를 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 점 G’의 좌표를 구합니다. 이 점이 문제에서 주어진 무게중심 (4,8)과 일치해야 합니다.
주의할 점:
각 점을 이동시켜 무게중심을 구하는 것보다, 무게중심을 먼저 구하고 한 번만 이동시키는 것이 계산이 훨씬 간단하고 효율적입니다.
”
평행이동 후 삼각형의 무게중심
“
접선과 수선(법선), 그리고 이등변삼각형의 조건이 결합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 지나고 접선 l에 수직인 직선은 원의 중심을 지납니다. 따라서 선분 PQ는 원의 지름이 됩니다.
2. 삼각형 APQ에서 각 APQ는 90도입니다. (접선과 반지름은 수직)
3. 이 직각삼각형이 이등변삼각형이 되려면, **AP = PQ** 여야 합니다.
4. AP는 접선의 길이, PQ는 지름(2r)입니다. 접선의 길이는 피타고라스 정리(AP² = OA² – r²)로 구할 수 있습니다.
5. AP² = PQ² 라는 등식, 즉 OA² – r² = (2r)² 을 풀어 원의 반지름 r을 찾고, 이를 이용해 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 기하학적 성질(접선, 수선, 직각삼각형, 이등변삼각형)을 순서대로 적용하여 문제의 조건을 식으로 변환하는 능력이 필요합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 복합 문제
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두 도형의 대응하는 점을 통해 평행이동 규칙을 찾고, 이를 다른 점들에 적용하여 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형의 대응점인 A(-5,8)과 A'(4,10)을 비교하여, x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지 찾습니다.
2. 이 평행이동 규칙을 점 B(1,1)와 C(3,4)에 적용하여, 평행이동된 점 B’과 C’의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 B’, C’의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 방정식을 문제에서 주어진 형태와 비교하여 계수 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 읽을 때 부호를 실수하지 않도록 주의하고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 기본 계산을 정확히 해야 합니다.
”
평행이동 규칙으로 직선의 방정식 구하기
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움직이는 점 A에 의해 결정되는 삼각형의 무게중심이 그리는 자취와, 그 자취(원) 위의 점과 직선 사이의 거리의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 무게중심 G의 자취의 방정식을 구합니다. (352번 문제 참고) 이 자취는 반지름이 원래 원의 1/3로 축소되고 중심이 이동한 새로운 원이 됩니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 원 위의 점 P’와 ‘직선 x+y-2=0’ 사이의 거리의 최대/최소 문제로 바뀝니다.
3. 최댓값 M = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) + (새로운 원의 반지름)
4. 최솟값 m = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) – (새로운 원의 반지름)
5. M과 m을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
자취의 방정식이 원이 된다는 점, 그리고 원과 직선 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 종합 문제입니다.
”
이차함수와 정사각형 조건
