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원과 직선의 교점, 수직인 직선, 삼각형의 넓이 등 여러 개념을 종합적으로 증명하는 빈칸 추론 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 논리적 흐름을 따라 각 빈칸을 채워나갑니다.
2. (가): 원과 직선 y=ax의 교점 A의 좌표를 연립방정식을 풀어 a에 대한 식으로 나타냅니다.
3. (나): 점 A를 지나고 y=ax에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
4. (다): S₁과 S₂를 각각 구한 뒤, 그 비율이 2가 되도록 하는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
빈칸 추론 문제는 전체를 스스로 푸는 것이 아니라, 앞뒤 문맥을 통해 빈칸에 들어갈 논리적 연결고리나 계산 결과를 찾는 것입니다. 전체적인 증명 과정을 이해하는 데 초점을 맞추세요.
”
두 직선 대칭성과 접점의 관계
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x축과 다른 직선에 동시에 접하는 원과 관련된 삼각형의 넓이를 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심은 x축과 직선 y=mx가 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 각의 이등분선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 반지름이 2이고 중심이 1사분면에 있으므로, 중심의 y좌표는 2입니다. 이를 이용해 중심의 좌표를 확정합니다.
3. 점 P는 접점이므로 좌표를 구하고, 직선 PQ는 원의 중심을 지나는 수직선임을 이용해 Q의 좌표를 찾습니다.
4. 삼각형 ROP의 넓이가 16임을 이용해 점 R의 좌표를 구합니다.
5. 세 점 P, Q, R이 한 직선 위에 있음을 이용해 기울기가 같다는 식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
원이 두 직선에 접할 때, 중심은 각의 이등분선 위에 있다는 성질을 활용하는 것이 중요합니다. 여러 기하학적 관계를 종합적으로 사용해야 합니다.
”
두 원 공통접선과 닮음
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각의 이등분선 위에 원의 중심이 있고, 그 원의 접점을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 A는 두 접선 l₁, l₂가 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 두 직선의 기울기 관계로부터 각의 이등분선이 y=x임을 추론할 수 있습니다. (y=mx와 y=(1/m)x는 y=x 대칭)
2. (나) 조건의 삼각형 OPQ 넓이를 이용해 접점의 좌표를 찾습니다.
3. (가) 조건 PQ=QR을 이용해 점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 최종적으로 직선 AQ와 직선 l₁의 교점 B를 찾아 선분 BQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
두 직선 y=mx와 y=(1/m)x가 y=x 대칭이라는 점을 파악하는 것이 문제 풀이의 중요한 실마리입니다. 대칭성을 이용하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다.
”
무게중심과 외심 조건의 복합 문제
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원 밖의 한 점에서 두 원에 그은 접선의 성질을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 점 P에서 두 원 C₁, C₂에 그은 접선의 길이는 각각 피타고라스 정리를 이용해 표현할 수 있습니다.
2. 두 접선의 길이가 같다는 조건을 식으로 세우면, 점 P가 만족하는 특정 관계식을 얻을 수 있습니다.
3. 이 문제에서는 닮음 관계를 이용하는 것이 더 효율적입니다. 점 P, 두 원의 중심은 한 직선 위에 있고, 두 원의 반지름의 비는 닮음비와 같습니다. 이를 이용해 점 P의 좌표를 먼저 찾습니다.
4. 점 P에서 한 원에 그은 두 접선의 기울기를 구하고, 그 곱을 계산합니다.
주의할 점:
두 원의 공통접선 문제는 두 원의 중심을 잇는 선과 닮음의 중심(교점 P)을 활용하는 것이 정석적인 풀이법입니다.
”
원의방정식과 각의 이등분선, 접하는 원
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무게중심 조건과 외접원의 중심(외심)이 원점이라는 두 가지 조건을 모두 만족하는 삼각형의 넓이를 구하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 꼭짓점 B, C의 좌표를 미지수로 설정합니다.
2. (가) 무게중심 조건을 이용해 미지수들 사이의 관계식을 얻습니다.
3. (나) 외심이 원점이므로, 세 꼭짓점은 모두 원점 중심의 한 원 위에 있습니다. 즉, OA=OB=OC=반지름 입니다. 이 조건을 이용해 추가적인 관계식을 얻습니다.
4. 두 조건을 연립하여 꼭짓점 B, C의 좌표를 모두 구합니다.
5. 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 신발끈 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
무게중심과 외심의 정의를 모두 식으로 표현하고, 복잡한 연립방정식을 풀어야 하는 문제입니다. 높은 수준의 계산 능력이 요구됩니다.
”
무게중심 원의방정식 결정조건 삼각형의 넓이
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원의 중심이 이차함수 위에 있고, 두 직선에 동시에 접하는 원이 3개일 조건을 해석하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심은 두 접선(y=4/3x, y=0)이 이루는 각의 이등분선 위에 있어야 합니다. 이등분선은 y=1/2x 와 y=-2x 두 개가 나옵니다.
2. 원의 중심은 이차함수 그래프 위에도, 두 이등분선 중 하나 위에도 있어야 합니다. 즉, 교점이어야 합니다.
3. 원이 총 3개가 나온다는 것은, 이차함수 그래프가 **한 이등분선과는 접하고(교점 1개), 다른 이등분선과는 두 점에서 만난다(교점 2개)**는 의미입니다.
4. 이 접할 조건(판별식 D=0)과 두 점에서 만날 조건을 이용해 이차함수의 계수 a, b를 결정합니다.
5. 무게중심 조건을 추가로 활용하여 a, b를 확정하고 최종 함숫값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 조건 ‘원의 개수가 3개’를 ‘이차함수와 두 직선의 교점 개수가 총 3개’로 해석하는 것이 문제 해결의 가장 중요한 부분입니다.
”
이차함수의 꼭짓점과 원의 방정식 삼각형의 무게중심
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점의 평행이동 후, 그 점이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 점 (5, -3)을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표를 구합니다. (5+a, -4)
2. 점이 직선 위에 있다는 것은, 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하면 등식이 성립한다는 것을 의미합니다.
3. 1단계에서 구한 평행이동한 점의 좌표를 직선 x+2y-1=0 에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
점의 평행이동은 이동한 만큼 좌표를 그대로 더해주면 됩니다. (x, y) → (x+a, y+b). 도형의 평행이동과 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
평행이동한 점이 직선 위에 있을 조건
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두 점의 이동 전후 관계를 통해 평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A가 점 A’으로 어떻게 이동했는지 x, y좌표의 변화량을 각각 계산하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. 이 규칙을 점 B와 B’의 관계에 적용하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
3. 이제 평행이동 규칙(α, β)과 옮길 점(a,b)의 좌표를 모두 알았습니다.
4. 점 (a,b)에 평행이동 규칙을 적용하여 최종적으로 옮겨지는 점의 좌표 (p,q)를 구합니다.
주의할 점:
평행이동 규칙을 찾을 때는 ‘나중 좌표 – 처음 좌표’로 계산해야 합니다. A→A’과 B→B’은 동일한 평행이동 규칙을 따릅니다.
”
평행이동 규칙으로 다른 점의 좌표 찾기
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x축에 접하는 원의 중심이 이차함수 위에 있고, 또 다른 직선에도 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a, b)라 하면, 중심이 이차함수 위에 있으므로 b=a²+1 입니다.
2. 원이 x축에 접하므로 반지름 r = |중심의 y좌표| = |a²+1| 입니다. a²+1은 항상 양수이므로 r=a²+1 입니다.
3. 이 원이 직선 4x-3y-3=0 과도 접하므로, 원의 중심 (a, a²+1)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 a²+1과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a에 대한 이차방정식이 나오며, 두 근이 두 원의 중심 x좌표가 됩니다.
5. 두 원의 반지름은 각각의 a값에 대해 계산되므로, 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 개의 조건을 종합하여 하나의 미지수(a)에 대한 방정식으로 귀결시키는 과정이 핵심입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
세 직선 교점으로 내심 구하기
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점의 평행이동 후 원점으로부터의 거리가 변하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 처음 점 A(3,-4)와 원점 사이의 거리 OA를 구합니다.
2. 점 A를 평행이동한 점 A’의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 점 A’과 원점 사이의 거리 OA’를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. 문제의 조건 ‘나중 거리가 처음 거리의 2배’ 즉, OA’ = 2 * OA 라는 등식을 세웁니다.
5. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하여 a에 대한 이차방정식을 풀고, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
거리 공식을 사용할 때 루트가 생기므로, 양변을 제곱하여 푸는 것이 계산 실수를 줄이는 방법입니다. 이차방정식이 나오므로 해가 여러 개일 수 있음을 인지해야 합니다.
”
평행이동 후 원점과의 거리 관계
