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두 도형의 대응하는 점을 통해 평행이동 규칙을 찾고, 이를 다른 점들에 적용하여 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형의 대응점인 A(-5,8)과 A'(4,10)을 비교하여, x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지 찾습니다.
2. 이 평행이동 규칙을 점 B(1,1)와 C(3,4)에 적용하여, 평행이동된 점 B’과 C’의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 B’, C’의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 방정식을 문제에서 주어진 형태와 비교하여 계수 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 읽을 때 부호를 실수하지 않도록 주의하고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 기본 계산을 정확히 해야 합니다.
”
평행이동 규칙으로 직선의 방정식 구하기
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움직이는 점 A에 의해 결정되는 삼각형의 무게중심이 그리는 자취와, 그 자취(원) 위의 점과 직선 사이의 거리의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 무게중심 G의 자취의 방정식을 구합니다. (352번 문제 참고) 이 자취는 반지름이 원래 원의 1/3로 축소되고 중심이 이동한 새로운 원이 됩니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 원 위의 점 P’와 ‘직선 x+y-2=0’ 사이의 거리의 최대/최소 문제로 바뀝니다.
3. 최댓값 M = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) + (새로운 원의 반지름)
4. 최솟값 m = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) – (새로운 원의 반지름)
5. M과 m을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
자취의 방정식이 원이 된다는 점, 그리고 원과 직선 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 종합 문제입니다.
”
이차함수와 정사각형 조건
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내분점과 중점의 자취가 그리는 도형의 길이를 구하는 문제입니다. 351번과 유사합니다.
접근법:
1. (1번 문제) 내분점 P를 (x,y), 원 위의 점 B를 (a,b)로 둡니다. 내분점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 P의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
2. (2번 문제) 중점 M을 (x,y), 원 위의 점 P를 (a,b)로 둡니다. 중점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 M의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
주의할 점:
내분점의 자취는 원래 원을 (n/(m+n)) 비율로 축소한 원이 되고, 중점의 자취는 반지름이 절반인 원이 됩니다. 이 성질을 이용하면 자취의 반지름을 빠르게 구할 수 있습니다.
”
내분점과 교점, 넓이의 증명
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원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 AB가 점 P에서만 만나므로, 직선 AB는 원의 접선이고 P는 접점입니다.
2. (점 P 찾기) 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
3. (직선 AB 찾기) 두 점 A, B의 좌표를 이용해 직선 AB의 방정식을 구합니다.
4. (접선 조건 이용) 원의 중심 (a,b)와 접선 AB 사이의 거리는 반지름과 같습니다. 또한 중심 (a,b)에서 접점 P까지의 거리도 반지름입니다. 이 두 조건을 연립하여 a, b를 구합니다.
주의할 점:
‘한 점에서만 만난다’는 표현을 ‘접한다’로 해석하는 것이 중요합니다. 접선의 문제는 항상 중심, 접점, 반지름 사이의 기하학적 관계를 이용합니다.
”
교점과 수직, 삼각형 넓이 증명
“
아폴로니우스의 원에 대한 다양한 성질을 묻는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 점 A, B로부터의 거리의 비가 2:1인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 최대일 때, 즉 높이가 이 원의 반지름과 같을 때입니다.
3. [3단계] 각 PAB의 크기가 최대가 될 때는, 직선 AP가 원에 접할 때입니다. 직각삼각형 PAC(C는 원의 중심)를 이용해 AP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원에 대한 세 가지 대표적인 질문(자취, 넓이 최대, 각 최대)을 한 문제에 모두 담고 있습니다.
”
행렬과 평행사변형, 거리의 최대/최소
“
한 원 위의 점에서의 접선이 다른 원과 만나 현을 만들 때, 그 현의 길이를 이용해 접점의 정보를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 원 위의 점 P의 좌표를 미지수로 두고, 그 점에서의 접선 l의 방정식을 세웁니다.
2. [2단계] 두 번째 원의 중심에서 직선 l까지의 거리 d를 구합니다.
3. [3단계] 주어진 현의 길이가 2√7이므로, 피타고라스 정리를 이용해 거리 d의 값을 먼저 확정합니다. 2단계에서 구한 d에 대한 식과 연립하여 접점 P의 좌표를 찾고, 최종적으로 접선의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
여러 원과 직선 사이의 관계가 복합적으로 얽혀있어, 각 단계에서 어떤 원의 중심과 반지름, 어떤 직선을 사용해야 하는지 명확히 구분해야 합니다.
”
삼각형 넓이 최대/최소 (서술형)
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행렬로 정의된 점의 자취(원)와 평행사변형의 성질, 그리고 거리의 최대/최소를 결합한 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 행렬 방정식을 계산하여 점 P(x,y)가 그리는 도형이 원 x²+y²=9 임을 밝힙니다.
2. [2단계] 사각형 APBQ가 평행사변형이므로, 대각선 PQ의 중점과 대각선 AB의 중점이 일치합니다. 이를 이용하면 점 Q의 좌표를 점 P의 좌표로 표현할 수 있고, 선분 PQ의 길이는 중점 M과 점 P 사이 거리의 2배가 됨을 알 수 있습니다.
3. [3단계] 결국, 문제는 ‘점 M과 원 위의 점 P 사이의 거리’의 최대/최솟값을 구하는 문제로 귀결됩니다. (d+r, d-r)을 이용해 답을 찾습니다.
주의할 점:
행렬, 평행사변형, 원의 최대/최소 등 여러 단원의 개념이 융합되어 있습니다. 각 개념을 정확히 이해하고 연결하는 능력이 필요합니다.
”
높이를 고정했을 때 삼각형 넓이 최대/최소
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삼각형 넓이의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다. 밑변을 고정하고 높이의 최대/최소를 찾는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. [1단계] 밑변이 될 선분 AB의 길이와 직선 AB의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 높이는 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다. 이 거리의 최댓값은 (원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (반지름), 최솟값은 (중심과 직선 거리) – (반지름) 입니다.
3. [3단계] 고정된 밑변과 2단계에서 구한 최대/최소 높이를 이용해 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하고 합합니다.
주의할 점:
밑변을 고정시킨 뒤, 높이가 원의 중심을 기준으로 어떻게 변하는지를 파악하는 것이 이 유형의 정석적인 풀이법입니다.
”
정사각형 내접원과 현의 길이
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삼각형 넓이의 최대/최소를 묻는 문제로, 밑변이 고정되어 있지 않은 경우입니다. 밑변과 높이를 어떻게 설정할지 판단해야 합니다.
접근법:
1. [1단계] 점 A에서 직선에 내린 수선의 발 H의 좌표를 구합니다. 선분 AH를 삼각형의 높이로 고정합니다.
2. [2단계] 직선 AH의 방정식과 선분 AH의 길이를 구합니다.
3. [3단계] 밑변은 원 위의 점 P와 점 H를 잇는 선분 PH가 됩니다. 넓이가 최대/최소가 되려면 밑변 PH의 길이가 최대/최소가 되어야 합니다. 이는 점 H와 원 위의 점 P 사이의 거리의 최대/최소 문제입니다.
주의할 점:
밑변과 높이를 어떻게 설정하는지에 따라 풀이의 방향이 달라집니다. 이 풀이는 한 꼭짓점에서 직선에 수선을 내려 높이를 고정하는 전략을 사용합니다.
”
원의 현의 수직이등분선의 성질
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480번 문제와 동일한 유형입니다. 정삼각형 넓이의 최솟값과 최댓값의 비를 구합니다.
접근법:
1. 정삼각형의 높이 h는 원 위의 점과 직선 사이의 거리와 같습니다.
2. 원과 직선 사이의 거리의 최솟값(h_min)과 최댓값(h_max)을 구합니다. (h_min = d-r, h_max = d+r)
3. 정삼각형의 넓이는 높이의 제곱에 비례합니다. (S = h²/√3)
4. 따라서 넓이의 최솟값과 최댓값의 비는, **(최소 높이)² : (최대 높이)²** 와 같습니다.
주의할 점:
넓이의 비는 길이의 비(높이의 비)의 제곱과 같다는 닮음의 성질을 이용하면, 실제 넓이를 계산하지 않고도 비율을 쉽게 구할 수 있습니다.
”
삼각형 넓이가 자연수가 되는 점의 개수
