“
원 밖의 한 점에서 두 원에 그은 접선의 성질을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 점 P에서 두 원 C₁, C₂에 그은 접선의 길이는 각각 피타고라스 정리를 이용해 표현할 수 있습니다.
2. 두 접선의 길이가 같다는 조건을 식으로 세우면, 점 P가 만족하는 특정 관계식을 얻을 수 있습니다.
3. 이 문제에서는 닮음 관계를 이용하는 것이 더 효율적입니다. 점 P, 두 원의 중심은 한 직선 위에 있고, 두 원의 반지름의 비는 닮음비와 같습니다. 이를 이용해 점 P의 좌표를 먼저 찾습니다.
4. 점 P에서 한 원에 그은 두 접선의 기울기를 구하고, 그 곱을 계산합니다.
주의할 점:
두 원의 공통접선 문제는 두 원의 중심을 잇는 선과 닮음의 중심(교점 P)을 활용하는 것이 정석적인 풀이법입니다.
”
원의방정식과 각의 이등분선, 접하는 원
“
무게중심 조건과 외접원의 중심(외심)이 원점이라는 두 가지 조건을 모두 만족하는 삼각형의 넓이를 구하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 꼭짓점 B, C의 좌표를 미지수로 설정합니다.
2. (가) 무게중심 조건을 이용해 미지수들 사이의 관계식을 얻습니다.
3. (나) 외심이 원점이므로, 세 꼭짓점은 모두 원점 중심의 한 원 위에 있습니다. 즉, OA=OB=OC=반지름 입니다. 이 조건을 이용해 추가적인 관계식을 얻습니다.
4. 두 조건을 연립하여 꼭짓점 B, C의 좌표를 모두 구합니다.
5. 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 신발끈 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
무게중심과 외심의 정의를 모두 식으로 표현하고, 복잡한 연립방정식을 풀어야 하는 문제입니다. 높은 수준의 계산 능력이 요구됩니다.
”
무게중심 원의방정식 결정조건 삼각형의 넓이
“
원의 중심이 이차함수 위에 있고, 두 직선에 동시에 접하는 원이 3개일 조건을 해석하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심은 두 접선(y=4/3x, y=0)이 이루는 각의 이등분선 위에 있어야 합니다. 이등분선은 y=1/2x 와 y=-2x 두 개가 나옵니다.
2. 원의 중심은 이차함수 그래프 위에도, 두 이등분선 중 하나 위에도 있어야 합니다. 즉, 교점이어야 합니다.
3. 원이 총 3개가 나온다는 것은, 이차함수 그래프가 **한 이등분선과는 접하고(교점 1개), 다른 이등분선과는 두 점에서 만난다(교점 2개)**는 의미입니다.
4. 이 접할 조건(판별식 D=0)과 두 점에서 만날 조건을 이용해 이차함수의 계수 a, b를 결정합니다.
5. 무게중심 조건을 추가로 활용하여 a, b를 확정하고 최종 함숫값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 조건 ‘원의 개수가 3개’를 ‘이차함수와 두 직선의 교점 개수가 총 3개’로 해석하는 것이 문제 해결의 가장 중요한 부분입니다.
”
이차함수의 꼭짓점과 원의 방정식 삼각형의 무게중심
“
점의 평행이동 후, 그 점이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 점 (5, -3)을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표를 구합니다. (5+a, -4)
2. 점이 직선 위에 있다는 것은, 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하면 등식이 성립한다는 것을 의미합니다.
3. 1단계에서 구한 평행이동한 점의 좌표를 직선 x+2y-1=0 에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
점의 평행이동은 이동한 만큼 좌표를 그대로 더해주면 됩니다. (x, y) → (x+a, y+b). 도형의 평행이동과 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
평행이동한 점이 직선 위에 있을 조건
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두 원 위의 점 P, Q에서 특정 직선에 내린 수선의 발 H₁, H₂ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 수선의 발 H₁, H₂는 직선 l 위에 있습니다. 두 점 사이의 거리를 구하려면, 두 점을 직선 l 위로 정사영시킨다고 생각할 수 있습니다.
2. 두 원의 중심 O₁, O₂를 직선 l 위로 정사영시킨 점 R, S를 먼저 찾습니다.
3. 두 점 R, S 사이의 거리를 구합니다.
4. **최댓값 M = (RS 사이의 거리) + r₁ + r₂**
5. **최솟값 m = (RS 사이의 거리) – r₁ – r₂** (단, 거리가 0보다 커야 함)
6. 두 값을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 문제가 아니라, 직선 위로 투영된 그림자 사이의 거리 문제로 해석해야 합니다. 두 중심의 투영점 사이의 거리를 구하는 것이 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 현의 길이
“
아폴로니우스의 원 두 개가 주어졌을 때, 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (원 O₁ 구하기) AP:BP = 3:2를 만족하는 점 P의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₁과 반지름 r₁을 찾습니다.
2. (원 O₂ 구하기) AQ:BQ = 2:3을 만족하는 점 Q의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₂와 반지름 r₂를 찾습니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)** 입니다.
4. d = O₁O₂, M = d + r₁ + r₂ 를 계산합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원을 두 번 구해야 하는 계산량이 많은 문제입니다. 내분점과 외분점을 지름의 양 끝으로 하여 원을 구하는 것이 더 빠를 수 있습니다.
”
두 직선에 접하는 원 넓이 이등분선
“
중심이 곡선 위에 있고 x축과 y축에 동시에 접하는 원을 찾는 서술형 문제입니다. 368번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다. 중심이 y=x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
2. [2단계] 중심이 y=-x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 나온 모든 가능한 원들의 넓이를 각각 구하여 모두 더합니다.
주의할 점:
원이 존재할 수 있는 모든 가능성(y=x 위, y=-x 위)을 체계적으로 나누어 서술하는 것이 중요합니다.
”
원을 접었을 때의 공통현 방정식
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각이 90도가 되는 점들의 자취(원)와 직선의 교점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다. 424번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다. 이 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 점 P, Q는 이 원과 직선 y=x-2의 교점입니다. 두 방정식(원, 직선)을 연립하여 두 교점의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 두 교점 P, Q 사이의 거리를 계산하여 l을 구하고, l² 값을 답합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 때
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원을 접었을 때 생기는 공통현의 방정식을 구하는 서술형 문제입니다. 375번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 접어서 생긴 호를 포함하는 새로운 원의 방정식을 구합니다. 이 원은 원래 원과 반지름이 같고, 새로운 접점(2,0)의 조건을 만족합니다.
2. [2단계] 접는 선인 직선 PQ는 원래 원과 새로운 원의 **공통현**입니다. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 구한 직선의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b 값을 찾고 ab를 계산합니다.
주의할 점:
접힌 도형은 합동이라는 성질을 이용해, 새로운 원의 중심과 반지름을 추론하는 과정이 가장 중요합니다.
”
원 밖의 점 접선과 축 동시 접촉 원
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원 위의 점에서의 접선이 다른 원에 접할 조건을 이용하는 서술형 문제입니다. 443번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 원 위의 점 (2,-4)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 두 번째 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. [3단계] 1단계에서 구한 접선이 2단계의 원에 접하므로, 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
점과 직선 사이의 거리 공식을 정확히 적용하는 것이 핵심입니다. 루트가 포함된 방정식을 풀 때 양변을 제곱하는 과정에서 실수가 없도록 해야 합니다.
”
원 밖의 점 접선과 x축으로 만든 넓이
