“
정사각형에 내접하는 원과, 정사각형의 한 변의 내분점을 지나는 직선이 원과 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형을 좌표평면 위에 배치하여 원의 방정식과 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A와 P를 지나는 직선 AP의 방정식을 구합니다.
3. 문제는 ‘원과 직선 AP가 만나서 생기는 현 QR의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 원의 중심에서 직선 AP까지의 거리 d를 구합니다.
5. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용해 현 QR의 길이를 구합니다.
주의할 점:
도형 문제를 좌표로 변환하여 푸는 능력이 중요합니다. 어떤 점을 원점으로 설정하는지에 따라 계산의 난이도가 달라질 수 있습니다.
”
직각삼각형의 내심과 외심 사이 거리
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특정 점을 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선을 구하고, 그 직선과 다른 원 사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (직선 l 구하기) 점 P(3,4)를 지나는 직선 중 원점 O와의 거리가 최대인 직선은, **선분 OP에 수직**이면서 점 P를 지나는 직선입니다. 이 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. (거리 최솟값 구하기) 이제 ‘원 위의 점과 직선 l 사이의 거리의 최솟값’을 구하는 문제가 됩니다.
3. 원의 중심 (7,5)와 직선 l 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 1입니다.
5. 최솟값 m = **d – r** 입니다.
주의할 점:
‘정점을 지나는 직선과 다른 한 점 사이의 최대 거리’에 대한 기하학적 성질을 정확히 알고 있어야 첫 단계를 해결할 수 있습니다.
”
두 원과 직선 위의 수선의 발 거리 최대/최소
“
원의 현의 수직이등분선의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 y=x의 두 교점이 P, Q입니다.
2. 선분 PQ는 원의 현이므로, 현 PQ의 수직이등분선은 반드시 원의 중심 (2,1)을 지납니다.
3. 또한, 현 PQ를 포함하는 직선은 y=x이므로, 수직이등분선의 기울기는 -1입니다.
4. 이제 수직이등분선은 점 (2,1)을 지나고 기울기가 -1인 직선임을 알 수 있습니다. 이 직선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 찾아 삼각형 OAB의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
현의 수직이등분선은 항상 원의 중심을 지난다는 핵심적인 기하학적 성질을 알고 있으면, 교점을 직접 구하지 않고도 문제를 해결할 수 있습니다.
”
두 아폴로니우스의 원 사이 거리 최댓값
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원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이가 자연수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 밑변 AB의 길이를 고정하고, 그 길이를 포함하는 직선 AB의 방정식을 구합니다.
2. 삼각형의 높이는 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 이 높이의 최솟값(m)과 최댓값(M)을 구합니다. (m=d-r, M=d+r)
4. 삼각형의 넓이 S = (1/2 * 밑변 * 높이) 이므로, 넓이의 최솟값과 최댓값을 구합니다.
5. 넓이의 범위 안에 있는 자연수 값들을 찾고, 각 자연수 넓이를 만족하는 높이가 몇 개씩 존재하는지 확인하여 점 P의 개수를 셉니다. (최소/최대 높이는 1개, 사이 높이는 2개)
주의할 점:
467번 문제와 유사하지만, ‘거리’가 아닌 ‘넓이’가 자연수가 되는 조건입니다. 넓이를 높이로 변환하여 생각하는 과정이 필요합니다.
”
x,y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위
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직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 내접원과 외접원의 중심을 각각 찾아 두 중심 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x, y절편을 구해 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 찾습니다. 이 삼각형은 직각삼각형입니다.
2. (내심 C₁) 직각삼각형의 내접원의 반지름 r = (a+b-c)/2 공식을 이용하거나, 넓이 공식을 이용해 반지름을 구하고 중심 좌표(r,r)를 찾습니다.
3. (외심 C₂) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 외심의 좌표를 구합니다.
4. 두 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
직각삼각형의 내심과 외심의 위치에 대한 성질을 알고 있으면 매우 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
x축과 직선에 동시 접촉하는 원
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두 원 위의 점 P, Q에서 특정 직선에 내린 수선의 발 H₁, H₂ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 수선의 발 H₁, H₂는 직선 l 위에 있습니다. 두 점 사이의 거리를 구하려면, 두 점을 직선 l 위로 정사영시킨다고 생각할 수 있습니다.
2. 두 원의 중심 O₁, O₂를 직선 l 위로 정사영시킨 점 R, S를 먼저 찾습니다.
3. 두 점 R, S 사이의 거리를 구합니다.
4. **최댓값 M = (RS 사이의 거리) + r₁ + r₂**
5. **최솟값 m = (RS 사이의 거리) – r₁ – r₂** (단, 거리가 0보다 커야 함)
6. 두 값을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 문제가 아니라, 직선 위로 투영된 그림자 사이의 거리 문제로 해석해야 합니다. 두 중심의 투영점 사이의 거리를 구하는 것이 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 현의 길이
“
아폴로니우스의 원 두 개가 주어졌을 때, 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (원 O₁ 구하기) AP:BP = 3:2를 만족하는 점 P의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₁과 반지름 r₁을 찾습니다.
2. (원 O₂ 구하기) AQ:BQ = 2:3을 만족하는 점 Q의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₂와 반지름 r₂를 찾습니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)** 입니다.
4. d = O₁O₂, M = d + r₁ + r₂ 를 계산합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원을 두 번 구해야 하는 계산량이 많은 문제입니다. 내분점과 외분점을 지름의 양 끝으로 하여 원을 구하는 것이 더 빠를 수 있습니다.
”
두 직선에 접하는 원 넓이 이등분선
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중심이 곡선 위에 있고 x축과 y축에 동시에 접하는 원을 찾는 서술형 문제입니다. 368번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다. 중심이 y=x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
2. [2단계] 중심이 y=-x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 나온 모든 가능한 원들의 넓이를 각각 구하여 모두 더합니다.
주의할 점:
원이 존재할 수 있는 모든 가능성(y=x 위, y=-x 위)을 체계적으로 나누어 서술하는 것이 중요합니다.
”
원을 접었을 때의 공통현 방정식
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각이 90도가 되는 점들의 자취(원)와 직선의 교점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다. 424번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다. 이 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 점 P, Q는 이 원과 직선 y=x-2의 교점입니다. 두 방정식(원, 직선)을 연립하여 두 교점의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 두 교점 P, Q 사이의 거리를 계산하여 l을 구하고, l² 값을 답합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 때
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원을 접었을 때 생기는 공통현의 방정식을 구하는 서술형 문제입니다. 375번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 접어서 생긴 호를 포함하는 새로운 원의 방정식을 구합니다. 이 원은 원래 원과 반지름이 같고, 새로운 접점(2,0)의 조건을 만족합니다.
2. [2단계] 접는 선인 직선 PQ는 원래 원과 새로운 원의 **공통현**입니다. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 구한 직선의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b 값을 찾고 ab를 계산합니다.
주의할 점:
접힌 도형은 합동이라는 성질을 이용해, 새로운 원의 중심과 반지름을 추론하는 과정이 가장 중요합니다.
”
원 밖의 점 접선과 축 동시 접촉 원
