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원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 서술형 문제입니다. 157번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, 1단계와 2단계에서 구한 두 중심점을 모두 지나는 유일한 직선입니다.
4. [4단계] 두 중심점을 지나는 직선의 방정식을 구해 a, b를 찾고 답을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 넓이를 이등분하는 직선은 그 도형의 ‘무게중심’을 지난다는 일반적인 성질을 이용하는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 원의 현
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아폴로니우스의 원에 대한 다양한 성질을 묻는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 점 A, B로부터의 거리의 비가 2:1인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 최대일 때, 즉 높이가 이 원의 반지름과 같을 때입니다.
3. [3단계] 각 PAB의 크기가 최대가 될 때는, 직선 AP가 원에 접할 때입니다. 직각삼각형 PAC(C는 원의 중심)를 이용해 AP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원에 대한 세 가지 대표적인 질문(자취, 넓이 최대, 각 최대)을 한 문제에 모두 담고 있습니다.
”
행렬과 평행사변형, 거리의 최대/최소
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한 원 위의 점에서의 접선이 다른 원과 만나 현을 만들 때, 그 현의 길이를 이용해 접점의 정보를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 원 위의 점 P의 좌표를 미지수로 두고, 그 점에서의 접선 l의 방정식을 세웁니다.
2. [2단계] 두 번째 원의 중심에서 직선 l까지의 거리 d를 구합니다.
3. [3단계] 주어진 현의 길이가 2√7이므로, 피타고라스 정리를 이용해 거리 d의 값을 먼저 확정합니다. 2단계에서 구한 d에 대한 식과 연립하여 접점 P의 좌표를 찾고, 최종적으로 접선의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
여러 원과 직선 사이의 관계가 복합적으로 얽혀있어, 각 단계에서 어떤 원의 중심과 반지름, 어떤 직선을 사용해야 하는지 명확히 구분해야 합니다.
”
삼각형 넓이 최대/최소 (서술형)
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행렬로 정의된 점의 자취(원)와 평행사변형의 성질, 그리고 거리의 최대/최소를 결합한 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 행렬 방정식을 계산하여 점 P(x,y)가 그리는 도형이 원 x²+y²=9 임을 밝힙니다.
2. [2단계] 사각형 APBQ가 평행사변형이므로, 대각선 PQ의 중점과 대각선 AB의 중점이 일치합니다. 이를 이용하면 점 Q의 좌표를 점 P의 좌표로 표현할 수 있고, 선분 PQ의 길이는 중점 M과 점 P 사이 거리의 2배가 됨을 알 수 있습니다.
3. [3단계] 결국, 문제는 ‘점 M과 원 위의 점 P 사이의 거리’의 최대/최솟값을 구하는 문제로 귀결됩니다. (d+r, d-r)을 이용해 답을 찾습니다.
주의할 점:
행렬, 평행사변형, 원의 최대/최소 등 여러 단원의 개념이 융합되어 있습니다. 각 개념을 정확히 이해하고 연결하는 능력이 필요합니다.
”
높이를 고정했을 때 삼각형 넓이 최대/최소
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462번 문제와 동일하게, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P(2,0)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 감독원 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (2,a)이고 반지름은 2입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 (x-2)²+(y-a)² = 2 * (반지름)² = 2 * 4 = 8 입니다.
4. 점 P(2,0)이 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 원의 중심에 미지수가 포함되어 있지만, 감독원의 개념을 적용하는 원리는 동일합니다.
”
두 접선이 수직일 때 반지름 구하기
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원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 BC를 삼각형의 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 높이는 원 위의 점 A와 직선 BC 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) + (반지름)
4. 높이의 최솟값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) – (반지름)
5. 각각의 높이를 이용해 넓이의 최댓값 M과 최솟값 m을 구한 뒤, 두 값을 더합니다.
주의할 점:
478번 문제에서 최솟값까지 함께 구하는 문제입니다. 원리와 풀이 과정은 동일합니다.
”
정삼각형 넓이의 최대/최소
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 원의 반지름을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 P(5,4)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 **감독원** 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (1,2)이고 반지름은 r입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 **(x-1)²+(y-2)² = 2r²** 입니다.
4. 점 P(5,4)가 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r² 값을 구하고, 반지름 r을 찾습니다.
주의할 점:
점 P, 원의 중심, 그리고 두 접점으로 만들어지는 사각형은 한 변의 길이가 반지름 r인 정사각형이 됩니다. 따라서 (중심과 점 P 사이의 거리) = (정사각형의 대각선 길이) = √2 * r 이라는 기하학적 관계를 이용해 풀 수도 있습니다.
”
두 접선이 수직일 때 기울기의 합
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원 위의 점과 직선 위의 두 점으로 정삼각형을 만들 때, 그 넓이의 최대/최소를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 넓이는 높이가 결정합니다. 넓이가 최대/최소가 되려면 높이가 최대/최소가 되어야 합니다.
2. 정삼각형의 높이는 꼭짓점 A(원 위의 점)에서 밑변 BC(직선 위의 점)까지의 거리입니다.
3. 이 높이의 최댓값과 최솟값은 **원과 직선 사이의 거리**의 최댓값, 최솟값과 같습니다.
4. 원의 중심(0,0)과 직선 y=x-6 사이의 거리 d를 구하고, 반지름 r을 찾습니다. (최대 높이 = d+r, 최소 높이 = d-r)
5. 정삼각형의 넓이 S = h² / √3 공식을 이용해, 각각의 높이에 대한 넓이를 구하고 차이를 계산합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이와 넓이 사이의 관계를 정확히 알고 있어야 합니다. 이 문제를 ‘원과 직선 사이의 거리’ 문제로 변환하여 해석하는 것이 핵심입니다.
”
특정 직선과 원 위 점 거리 최솟값
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원과 만나는 직선 위의 두 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 한 점에서의 접선과, 그 접선에 수직인 또 다른 접선이 만나는 점은 항상 **감독원** 위에 있습니다.
2. 이 문제에서 두 접선이 수직이므로, 두 접선의 교점 D는 원의 감독원 위에 있습니다.
3. 또한, 두 접점 A, B와 원의 중심 C, 그리고 교점 D로 만들어지는 사각형 ADBC는 정사각형입니다. 이때 대각선 CD는 y=x와 수직이등분 관계에 있을 것입니다.
4. 원의 중심(1,1)과 직선 y=mx 사이의 거리를 이용해 m에 대한 관계식을 세우고, 기하학적 조건을 만족하는 m 값들의 합을 구합니다.
주의할 점:
상황이 매우 복잡하므로, 그림을 그려 기하학적 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 두 접선이 수직이라는 조건에서 감독원을 떠올리고, 이등변삼각형, 정사각형 등의 성질을 활용해야 합니다.
”
원 밖의 점과 원 위 점 사이 거리 최대/최소
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원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표와 반지름 r의 길이를 구합니다.
2. 원 밖의 점 Q와 원의 중심 C 사이의 거리 d를 구합니다.
3. **최댓값 M = d + r** (점 Q, 중심 C, 점 P가 일직선 상에 있고 C가 가운데 있을 때)
4. **최솟값 m = d – r** (점 Q, 점 P, 중심 C가 일직선 상에 있고 P가 가운데 있을 때)
주의할 점:
최대/최소 거리는 항상 원 밖의 점과 중심을 잇는 직선 위에서 발생한다는 기하학적인 그림을 머릿속에 그릴 수 있어야 합니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수
