“
원 밖의 한 점에서 그은 접선 중 특정 조건을 만족하는 접선을 찾고, 그 접선과 축에 동시에 접하는 원을 찾는 고난도 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 점 (3,-1)에서 원 x²+y²=1에 그은 두 접선의 방정식을 구하고, 그 중 기울기가 음수인 것을 선택합니다.
2. [2단계] x축, y축에 동시에 접하고 중심이 제1사분면에 있는 원의 중심은 (r,r), 반지름은 r입니다. 이 원이 1단계에서 구한 접선과 접해야 합니다.
3. 중심 (r,r)과 접선 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 방정식을 풀어 가능한 모든 r값을 구합니다.
4. [3단계] 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 단계에 걸쳐 여러 개념(접선, 축에 동시접촉, 점과 직선사이 거리)을 종합적으로 사용해야 하는 문제입니다.
”
원과 직사각형 넓이를 동시에 이등분
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 원의 방정식은 중심이 (1,1)이고 반지름이 1임을 확인합니다.
2. [2단계] 점 A(2,3)에서 이 원에 그은 두 접선의 방정식을 각각 구합니다.
3. [3단계] 두 접선이 x축과 만나는 점, 즉 각 직선의 x절편 P, Q의 좌표를 구합니다.
4. [4단계] 세 점 A, P, Q를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구합니다. (밑변 PQ는 x축 위에 있으므로, 높이는 점 A의 y좌표가 됩니다.)
주의할 점:
원 밖의 점에서 접선을 구하는 것이 가장 핵심적인 단계이며, 계산이 복잡할 수 있습니다.
”
아폴로니우스의 원 종합 문제
“
원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 서술형 문제입니다. 157번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, 1단계와 2단계에서 구한 두 중심점을 모두 지나는 유일한 직선입니다.
4. [4단계] 두 중심점을 지나는 직선의 방정식을 구해 a, b를 찾고 답을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 넓이를 이등분하는 직선은 그 도형의 ‘무게중심’을 지난다는 일반적인 성질을 이용하는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 원의 현
“
아폴로니우스의 원에 대한 다양한 성질을 묻는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 점 A, B로부터의 거리의 비가 2:1인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 최대일 때, 즉 높이가 이 원의 반지름과 같을 때입니다.
3. [3단계] 각 PAB의 크기가 최대가 될 때는, 직선 AP가 원에 접할 때입니다. 직각삼각형 PAC(C는 원의 중심)를 이용해 AP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원에 대한 세 가지 대표적인 질문(자취, 넓이 최대, 각 최대)을 한 문제에 모두 담고 있습니다.
”
행렬과 평행사변형, 거리의 최대/최소
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB의 밑변을 선분 AB(극선), 높이를 점 P에서 직선 AB까지의 거리로 설정합니다.
2. (밑변 길이) 460번 문제와 동일한 방법으로 극선의 방정식을 구하고, 현 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이) 점 P(1,3)과 2단계에서 구한 직선 AB 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 를 계산합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것, 현의 길이를 구하는 것, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 것 등 여러 기본 개념이 순차적으로 필요한 종합 문제입니다.
”
두 접선이 서로 수직일 조건(감독원)
“
직선 위의 점에서 원에 그은 접선의 길이의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 임의의 점을 P, 원의 중심을 C, 접점을 T라 하면, **PT² = PC² – r²** 이 성립합니다.
2. 접선의 길이 PT가 최소가 되려면, 점 P와 원의 중심 C 사이의 거리 **PC가 최소**가 되어야 합니다.
3. 점 P는 직선 위를 움직이므로, PC의 최솟값은 **원의 중심 C에서 직선까지의 거리**입니다.
4. 원의 중심 (4,3)과 주어진 직선 사이의 거리를 구해 PC의 최솟값을 찾습니다.
5. 구한 PC의 최솟값을 1단계의 피타고라스 관계식에 대입하여 PT의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
접선의 길이를 직접 다루는 것이 아니라, 중심과 직선 위의 점 사이의 거리로 변환하여 생각하는 것이 핵심입니다.
”
삼각형 넓이의 최댓값
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다. 이는 감독원(Director Circle)의 개념입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P에서 그은 두 접선이 수직을 이룰 때, 그 점 P는 특정 원 위를 움직입니다. 이 원을 감독원이라고 합니다.
2. 중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 감독원의 방정식은 **(x-a)²+(y-b)² = 2r²** 입니다.
3. 이 문제에서 원의 중심은 (0,0)이고 반지름의 제곱은 8입니다.
4. 따라서 감독원의 방정식은 x²+y² = 2*8 = 16 입니다.
5. 점 A(0,a)는 이 감독원 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
감독원의 개념을 모를 경우, 기울기를 m으로 두고 접선 방정식을 세운 뒤, m에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이 -1임을 이용해 풀어야 하므로 계산이 복잡해집니다.
”
두 접선이 수직일 때 중심의 좌표
“
원 위의 동점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다. 436번과 동일합니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB에서 선분 AB를 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 합니다. 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값은 **(원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (반지름)** 입니다.
4. 직선 AB의 방정식을 구하고, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리를 구한 뒤, 반지름을 더해 최대 높이를 찾습니다.
5. 밑변과 최대 높이를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
최대/최소 넓이 문제는 항상 고정된 밑변을 찾고, 높이의 최대/최소를 원의 중심을 기준으로 찾는다는 점을 기억해야 합니다.
”
삼각형 넓이의 최대/최소의 합
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462번 문제와 동일하게, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P(2,0)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 감독원 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (2,a)이고 반지름은 2입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 (x-2)²+(y-a)² = 2 * (반지름)² = 2 * 4 = 8 입니다.
4. 점 P(2,0)이 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 원의 중심에 미지수가 포함되어 있지만, 감독원의 개념을 적용하는 원리는 동일합니다.
”
두 접선이 수직일 때 반지름 구하기
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원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 BC를 삼각형의 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 높이는 원 위의 점 A와 직선 BC 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) + (반지름)
4. 높이의 최솟값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) – (반지름)
5. 각각의 높이를 이용해 넓이의 최댓값 M과 최솟값 m을 구한 뒤, 두 값을 더합니다.
주의할 점:
478번 문제에서 최솟값까지 함께 구하는 문제입니다. 원리와 풀이 과정은 동일합니다.
”
정삼각형 넓이의 최대/최소
