“
정점을 지나는 직선과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 A**의 좌표를 찾습니다. (이 문제에서는 (-4,3))
2. 이제 문제는 ‘정점 A를 지나는 직선들과 원 위의 점 P 사이의 거리’를 묻는 것이 됩니다. 이 거리는 점 P와 정점 A 사이의 거리로 해석할 수 있습니다.
3. 결국, 이 문제는 **’원 위의 점 P’와 ‘원 밖의 점 A’ 사이의 거리의 최댓값**을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심(0,0)과 점 A(-4,3) 사이의 거리 d를 구하고, 최댓값 **d + r**을 계산합니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, 정점을 찾고 나면 결국 466번과 같은 기본 유형으로 변환된다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수(직선)
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다. 467번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (1,-2)와 직선 x-y+3=0 사이의 거리 d를 구합니다.
2. 원의 반지름 r은 √8 = 2√2 입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 **최솟값 m = d-r** 과 **최댓값 M = d+r** 을 구합니다.
4. 거리의 범위 [m, M] 안에 포함되는 정수 값들을 모두 찾습니다.
5. 최솟값과 최댓값이 정수인 경우 그에 해당하는 점은 1개씩, 그 외의 정수 거리에 해당하는 점은 원의 대칭성에 의해 **2개씩** 존재합니다. 모든 점의 개수를 더합니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 근사값을 계산하여(√2 ≈ 1.414) 정수의 범위를 정확히 찾아야 합니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 합
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 중심 (4,4)와 1단계에서 구한 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 원의 반지름 r은 5입니다.
4. 최댓값 M = d+r, 최솟값 m = d-r 입니다.
5. 문제에서 요구하는 M+m = (d+r) + (d-r) = **2d** 입니다. 따라서 2단계에서 구한 거리 d에 2를 곱하면 답이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 ‘차’는 2r, ‘합’은 2d가 된다는 관계를 알아두면 계산을 간소화할 수 있습니다.
”
직선 위 점에서 그은 접선 길이 최솟값
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB의 밑변을 선분 AB(극선), 높이를 점 P에서 직선 AB까지의 거리로 설정합니다.
2. (밑변 길이) 460번 문제와 동일한 방법으로 극선의 방정식을 구하고, 현 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이) 점 P(1,3)과 2단계에서 구한 직선 AB 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 를 계산합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것, 현의 길이를 구하는 것, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 것 등 여러 기본 개념이 순차적으로 필요한 종합 문제입니다.
”
두 접선이 서로 수직일 조건(감독원)
“
직선 위의 점에서 원에 그은 접선의 길이의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 임의의 점을 P, 원의 중심을 C, 접점을 T라 하면, **PT² = PC² – r²** 이 성립합니다.
2. 접선의 길이 PT가 최소가 되려면, 점 P와 원의 중심 C 사이의 거리 **PC가 최소**가 되어야 합니다.
3. 점 P는 직선 위를 움직이므로, PC의 최솟값은 **원의 중심 C에서 직선까지의 거리**입니다.
4. 원의 중심 (4,3)과 주어진 직선 사이의 거리를 구해 PC의 최솟값을 찾습니다.
5. 구한 PC의 최솟값을 1단계의 피타고라스 관계식에 대입하여 PT의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
접선의 길이를 직접 다루는 것이 아니라, 중심과 직선 위의 점 사이의 거리로 변환하여 생각하는 것이 핵심입니다.
”
삼각형 넓이의 최댓값
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다. 이는 감독원(Director Circle)의 개념입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P에서 그은 두 접선이 수직을 이룰 때, 그 점 P는 특정 원 위를 움직입니다. 이 원을 감독원이라고 합니다.
2. 중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 감독원의 방정식은 **(x-a)²+(y-b)² = 2r²** 입니다.
3. 이 문제에서 원의 중심은 (0,0)이고 반지름의 제곱은 8입니다.
4. 따라서 감독원의 방정식은 x²+y² = 2*8 = 16 입니다.
5. 점 A(0,a)는 이 감독원 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
감독원의 개념을 모를 경우, 기울기를 m으로 두고 접선 방정식을 세운 뒤, m에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이 -1임을 이용해 풀어야 하므로 계산이 복잡해집니다.
”
두 접선이 수직일 때 중심의 좌표
“
원 위의 동점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다. 436번과 동일합니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB에서 선분 AB를 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 합니다. 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값은 **(원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (반지름)** 입니다.
4. 직선 AB의 방정식을 구하고, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리를 구한 뒤, 반지름을 더해 최대 높이를 찾습니다.
5. 밑변과 최대 높이를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
최대/최소 넓이 문제는 항상 고정된 밑변을 찾고, 높이의 최대/최소를 원의 중심을 기준으로 찾는다는 점을 기억해야 합니다.
”
삼각형 넓이의 최대/최소의 합
“
462번 문제와 동일하게, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P(2,0)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 감독원 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (2,a)이고 반지름은 2입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 (x-2)²+(y-a)² = 2 * (반지름)² = 2 * 4 = 8 입니다.
4. 점 P(2,0)이 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 원의 중심에 미지수가 포함되어 있지만, 감독원의 개념을 적용하는 원리는 동일합니다.
”
두 접선이 수직일 때 반지름 구하기
“
원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 BC를 삼각형의 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 높이는 원 위의 점 A와 직선 BC 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) + (반지름)
4. 높이의 최솟값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) – (반지름)
5. 각각의 높이를 이용해 넓이의 최댓값 M과 최솟값 m을 구한 뒤, 두 값을 더합니다.
주의할 점:
478번 문제에서 최솟값까지 함께 구하는 문제입니다. 원리와 풀이 과정은 동일합니다.
”
정삼각형 넓이의 최대/최소
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 원의 반지름을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 P(5,4)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 **감독원** 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (1,2)이고 반지름은 r입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 **(x-1)²+(y-2)² = 2r²** 입니다.
4. 점 P(5,4)가 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r² 값을 구하고, 반지름 r을 찾습니다.
주의할 점:
점 P, 원의 중심, 그리고 두 접점으로 만들어지는 사각형은 한 변의 길이가 반지름 r인 정사각형이 됩니다. 따라서 (중심과 점 P 사이의 거리) = (정사각형의 대각선 길이) = √2 * r 이라는 기하학적 관계를 이용해 풀 수도 있습니다.
”
두 접선이 수직일 때 기울기의 합
