“
원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값(M)과 최솟값(m)의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 **M = d + r**, 최솟값은 **m = d – r** 입니다. (d: 중심과 직선 사이 거리, r: 반지름)
2. 따라서 M – m = (d+r) – (d-r) = **2r** 이라는 중요한 관계식이 성립합니다.
3. 문제에서 M-m=8 이라고 주어졌으므로, 2r = 8, 즉 반지름 r=4 임을 알 수 있습니다.
4. 원의 방정식에서 반지름은 √k 이므로, k=16 이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 차이는 항상 ‘지름의 길이(2r)’와 같다는 사실을 알고 있으면 매우 빠르고 간단하게 풀 수 있는 문제입니다.
”
정점을 지나는 직선과 원 위 점 거리 최댓값
“
정점을 지나는 직선과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 A**의 좌표를 찾습니다. (이 문제에서는 (-4,3))
2. 이제 문제는 ‘정점 A를 지나는 직선들과 원 위의 점 P 사이의 거리’를 묻는 것이 됩니다. 이 거리는 점 P와 정점 A 사이의 거리로 해석할 수 있습니다.
3. 결국, 이 문제는 **’원 위의 점 P’와 ‘원 밖의 점 A’ 사이의 거리의 최댓값**을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심(0,0)과 점 A(-4,3) 사이의 거리 d를 구하고, 최댓값 **d + r**을 계산합니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, 정점을 찾고 나면 결국 466번과 같은 기본 유형으로 변환된다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수(직선)
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다. 467번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (1,-2)와 직선 x-y+3=0 사이의 거리 d를 구합니다.
2. 원의 반지름 r은 √8 = 2√2 입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 **최솟값 m = d-r** 과 **최댓값 M = d+r** 을 구합니다.
4. 거리의 범위 [m, M] 안에 포함되는 정수 값들을 모두 찾습니다.
5. 최솟값과 최댓값이 정수인 경우 그에 해당하는 점은 1개씩, 그 외의 정수 거리에 해당하는 점은 원의 대칭성에 의해 **2개씩** 존재합니다. 모든 점의 개수를 더합니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 근사값을 계산하여(√2 ≈ 1.414) 정수의 범위를 정확히 찾아야 합니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 합
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 중심 (4,4)와 1단계에서 구한 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 원의 반지름 r은 5입니다.
4. 최댓값 M = d+r, 최솟값 m = d-r 입니다.
5. 문제에서 요구하는 M+m = (d+r) + (d-r) = **2d** 입니다. 따라서 2단계에서 구한 거리 d에 2를 곱하면 답이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 ‘차’는 2r, ‘합’은 2d가 된다는 관계를 알아두면 계산을 간소화할 수 있습니다.
”
직선 위 점에서 그은 접선 길이 최솟값
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원 위의 한 점에서의 접선이 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는, 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=10 위의 점 (3,1)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (3x+y=10)
2. 이 접선이 점 (1,a)를 지난다고 했으므로, 좌표를 접선의 방정식에 대입합니다.
3. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
가장 기본적인 접선 공식과 점의 대입 원리만 알면 쉽게 해결할 수 있는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 점을 지날 조건
“
원 위의 한 점에서의 접선이 주어졌을 때, 원의 반지름과 접점의 좌표를 역으로 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 (a, 4√3)에서의 접선의 방정식은 ax + 4√3y = r² 입니다.
2. 이 방정식이 주어진 직선 x-√3y+b=0 과 일치해야 합니다. 계수 비교를 통해 a, r, b 사이의 관계식을 구합니다.
3. 점 (a, 4√3)은 원 위의 점이므로, x²+y²=r² 에 대입하면 성립합니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, r, b 값을 모두 결정합니다.
주의할 점:
두 직선이 일치할 조건(계수비가 같다)과 점이 원 위에 있다는 조건(좌표 대입)을 모두 활용해야 하는 연립 문제입니다.
”
접선이 주어질 때 반지름과 접점 구하기
“
원 위의 점에서의 접선이 원 밖의 특정 점을 지날 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점을 P(x₁, y₁)로 설정합니다.
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 입니다.
3. 이 접선이 원 밖의 점 (0,3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 y₁의 값을 먼저 구합니다.
4. 점 P(x₁, y₁)는 원 위의 점이기도 하므로, x₁²+y₁²=1 이 성립합니다. 이 식에 y₁ 값을 대입하여 x₁ 값을 구합니다.
5. 제1사분면 위의 점이라는 조건에 맞는 좌표를 선택합니다.
주의할 점:
이 문제의 풀이는 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접점을 지나는 직선(극선)’의 방정식을 구하는 원리와도 연결됩니다.
”
원 밖의 점을 지나는 접점의 좌표
“
원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 만나도록 하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (3,-4)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원과 만나려면(한 점 또는 두 점에서), **두 번째 원의 중심에서 이 접선까지의 거리가 두 번째 원의 반지름보다 작거나 같아야** 합니다.
3. 두 번째 원의 중심과 반지름을 구합니다.
4. 중심과 접선 사이의 거리를 구하고, 반지름보다 작거나 같다는 부등식을 풀어 자연수 r의 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
‘만난다’는 것은 ‘접하는 경우’와 ‘두 점에서 만나는 경우’를 모두 포함하므로, 거리 d와 반지름 r의 관계는 d ≤ r 이 됩니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원과 만날 조건
“
원 위의 점에서의 접선과 관련된 여러 점들의 기하학적 관계를 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P를 (x₁, y₁)로 두고, 접선, 점 B, 점 H의 좌표를 모두 x₁, y₁으로 표현합니다.
2. 주어진 조건 2AH = HB를 x₁, y₁에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 점 P가 원 위의 점이라는 조건(x₁²+y₁²=4)과 연립하여 접점 P의 좌표를 구합니다.
4. 삼각형 PAB의 세 꼭짓점 좌표를 모두 알았으므로, 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
문제의 모든 조건을 좌표와 길이를 이용한 식으로 정확하게 변환하는 능력이 필요합니다. 계산 과정이 복잡하므로 주의가 요구됩니다.
”
원 위의 점 접선과 여러 점의 관계
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 y절편으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 (3,1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원(x²+y²=1)에 접할 조건(중심과의 거리가 반지름과 같다)을 이용해, m에 대한 이차방정식을 풉니다. 두 개의 m값이 나옵니다.
3. 각각의 m값에 대해 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 두 접선의 y절편(점 B, C)을 각각 구합니다.
5. 세 점 A(3,1), B, C로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식을 먼저 구하여 푸는 방법도 있지만, 기울기를 미지수로 설정하는 것이 더 일반적인 풀이법입니다.
”
원 밖에서 그은 접선과 삼각형 넓이
