“
선분의 길이가 고정되었을 때, 한 끝점이 원점을 중심으로 회전할 때 다른 끝점의 원점으로부터의 거리(크기)의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 B(a,b)는, 점 A(5,12)를 중심으로 하고 반지름이 3인 원 위의 점으로 해석할 수 있습니다.
2. 문제에서 묻는 a²+b²의 최댓값은, 원점 O와 이 원 위의 점 B 사이의 거리의 제곱의 최댓값을 묻는 것과 같습니다.
3. 이는 ‘원 밖의 한 점(원점 O)과 원 위의 점(B) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심 A(5,12)와 원점 O 사이의 거리 d를 구합니다.
5. 거리의 최댓값은 **d + r** (r은 반지름 3) 입니다. 이 값을 제곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건을 ‘점이 원 위를 움직인다’로 해석하는 능력이 필요합니다. 벡터의 크기 문제로도 해석할 수 있습니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 차
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원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값(M)과 최솟값(m)의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 **M = d + r**, 최솟값은 **m = d – r** 입니다. (d: 중심과 직선 사이 거리, r: 반지름)
2. 따라서 M – m = (d+r) – (d-r) = **2r** 이라는 중요한 관계식이 성립합니다.
3. 문제에서 M-m=8 이라고 주어졌으므로, 2r = 8, 즉 반지름 r=4 임을 알 수 있습니다.
4. 원의 방정식에서 반지름은 √k 이므로, k=16 이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 차이는 항상 ‘지름의 길이(2r)’와 같다는 사실을 알고 있으면 매우 빠르고 간단하게 풀 수 있는 문제입니다.
”
정점을 지나는 직선과 원 위 점 거리 최댓값
“
정점을 지나는 직선과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 A**의 좌표를 찾습니다. (이 문제에서는 (-4,3))
2. 이제 문제는 ‘정점 A를 지나는 직선들과 원 위의 점 P 사이의 거리’를 묻는 것이 됩니다. 이 거리는 점 P와 정점 A 사이의 거리로 해석할 수 있습니다.
3. 결국, 이 문제는 **’원 위의 점 P’와 ‘원 밖의 점 A’ 사이의 거리의 최댓값**을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심(0,0)과 점 A(-4,3) 사이의 거리 d를 구하고, 최댓값 **d + r**을 계산합니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, 정점을 찾고 나면 결국 466번과 같은 기본 유형으로 변환된다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수(직선)
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원 위의 점과 직선 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다. 467번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (1,-2)와 직선 x-y+3=0 사이의 거리 d를 구합니다.
2. 원의 반지름 r은 √8 = 2√2 입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 **최솟값 m = d-r** 과 **최댓값 M = d+r** 을 구합니다.
4. 거리의 범위 [m, M] 안에 포함되는 정수 값들을 모두 찾습니다.
5. 최솟값과 최댓값이 정수인 경우 그에 해당하는 점은 1개씩, 그 외의 정수 거리에 해당하는 점은 원의 대칭성에 의해 **2개씩** 존재합니다. 모든 점의 개수를 더합니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 근사값을 계산하여(√2 ≈ 1.414) 정수의 범위를 정확히 찾아야 합니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 합
“
원 위의 한 점에서의 접선의 x절편과 y절편의 관계가 주어졌을 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점 P의 좌표를 (a,b)로 설정합니다. (a²+b²=4)
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 ax+by=4 입니다.
3. 이 접선의 x절편(4/a)과 y절편(4/b)을 구합니다.
4. 두 절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이가 주어진 선분 QR의 길이입니다. 피타고라스 정리를 이용해 a,b의 관계식을 얻습니다.
5. 1단계와 4단계에서 얻은 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
여러 미지수와 관계식을 체계적으로 정리하고 연립하는 능력이 필요합니다. 제1사분면 위의 점이라는 조건도 활용해야 합니다.
”
접선의 절편 관계로 접점 구하기
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점 사이의 거리, 즉 극선(현)의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (극선 방정식) 459번 문제의 공식을 이용해, 두 접점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 먼저 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이’를 구하는 문제로 바뀝니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 1단계에서 구한 극선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r²** 을 이용해 현 AB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다. 이 개념을 모른다면 문제를 풀기가 매우 어렵습니다.
”
두 접점으로 만든 삼각형의 넓이
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원 위의 한 점에서의 접선이 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는, 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=10 위의 점 (3,1)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (3x+y=10)
2. 이 접선이 점 (1,a)를 지난다고 했으므로, 좌표를 접선의 방정식에 대입합니다.
3. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
가장 기본적인 접선 공식과 점의 대입 원리만 알면 쉽게 해결할 수 있는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 점을 지날 조건
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원 위의 한 점에서의 접선이 주어졌을 때, 원의 반지름과 접점의 좌표를 역으로 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 (a, 4√3)에서의 접선의 방정식은 ax + 4√3y = r² 입니다.
2. 이 방정식이 주어진 직선 x-√3y+b=0 과 일치해야 합니다. 계수 비교를 통해 a, r, b 사이의 관계식을 구합니다.
3. 점 (a, 4√3)은 원 위의 점이므로, x²+y²=r² 에 대입하면 성립합니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, r, b 값을 모두 결정합니다.
주의할 점:
두 직선이 일치할 조건(계수비가 같다)과 점이 원 위에 있다는 조건(좌표 대입)을 모두 활용해야 하는 연립 문제입니다.
”
접선이 주어질 때 반지름과 접점 구하기
“
원 위의 점에서의 접선이 원 밖의 특정 점을 지날 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점을 P(x₁, y₁)로 설정합니다.
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 입니다.
3. 이 접선이 원 밖의 점 (0,3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 y₁의 값을 먼저 구합니다.
4. 점 P(x₁, y₁)는 원 위의 점이기도 하므로, x₁²+y₁²=1 이 성립합니다. 이 식에 y₁ 값을 대입하여 x₁ 값을 구합니다.
5. 제1사분면 위의 점이라는 조건에 맞는 좌표를 선택합니다.
주의할 점:
이 문제의 풀이는 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접점을 지나는 직선(극선)’의 방정식을 구하는 원리와도 연결됩니다.
”
원 밖의 점을 지나는 접점의 좌표
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원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 만나도록 하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (3,-4)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원과 만나려면(한 점 또는 두 점에서), **두 번째 원의 중심에서 이 접선까지의 거리가 두 번째 원의 반지름보다 작거나 같아야** 합니다.
3. 두 번째 원의 중심과 반지름을 구합니다.
4. 중심과 접선 사이의 거리를 구하고, 반지름보다 작거나 같다는 부등식을 풀어 자연수 r의 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
‘만난다’는 것은 ‘접하는 경우’와 ‘두 점에서 만나는 경우’를 모두 포함하므로, 거리 d와 반지름 r의 관계는 d ≤ r 이 됩니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원과 만날 조건
