“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 기울기의 합을 묻는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (3,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원에 접하므로, 원의 중심 (1,1)과 직선 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 정리하면 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기입니다.
4. 문제에서 ‘기울기의 합’을 요구했으므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
기울기를 직접 구하려고 하면 계산이 복잡해질 수 있습니다. ‘모든 값의 합’을 묻는 것은 근과 계수의 관계를 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
원과 만나는 직선 기울기의 최댓값
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원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 만날 때, 그 직선의 기울기의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 직선이 원에 접할 때 발생합니다.
접근법:
1. 점 (4,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=12와 만나야 하므로, 원의 중심 (0,0)과 직선 사이의 거리가 반지름(√12)보다 작거나 같아야 합니다.
3. 기울기가 최대 또는 최소가 되는 순간은 직선이 원에 접하는 순간입니다.
4. 따라서, 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 m에 대한 이차방정식을 풀고, 두 기울기 중 큰 값을 최댓값으로 선택합니다.
주의할 점:
점이 원 밖에 있을 때, 그 점을 지나는 직선의 기울기는 접할 때 최대/최소를 갖는다는 기하학적 상황을 이해하는 것이 중요합니다.
”
한 원 넓이 이등분, 다른 원에 접하는 직선
“
한 원의 넓이를 이등분하고 다른 원에 접하는 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 그 원의 중심 (2,-3)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (2,-3)을 지나고 원 x²+y²=1에 접하는 직선’을 찾는 문제로 단순화됩니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (2,-3)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 x²+y²=1의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세워 m값을 구합니다.
5. m에 대한 이차방정식이 나오므로, 근과 계수의 관계를 통해 기울기의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고, 다른 원 넓이 이등분
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한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선 문제입니다. 454번과 조건의 순서만 바뀌었습니다.
접근법:
1. 직선이 원 O’의 넓이를 이등분하므로, 원 O’의 중심 (0,4)를 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (0,4)를 지나고 원 O에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (0,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 O의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 문제의 조건에 맞는 양수 기울기를 선택하여 직선을 완성하고, 주어진 점을 대입해 a값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 어떤 순서로 해석하든, 결국 ‘특정 점을 지나고 원에 접하는 직선’을 찾는 문제로 귀결됩니다.
”
두 접선이 이루는 각의 이등분선
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P와 원의 중심 C를 지나는 직선은 두 접선이 이루는 각을 항상 이등분합니다.
2. 또한, 점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선도 두 접선이 이루는 각(의 외각)을 이등분합니다.
3. 따라서, **직선 PC의 방정식**과, **점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선의 방정식** 두 개를 구하면 됩니다.
4. 점 P(3,0)와 원의 중심 (1,-2)의 좌표를 이용해 두 직선의 방정식을 각각 구하고, 계수를 비교합니다.
주의할 점:
두 접선 자체를 구하는 것은 매우 복잡합니다. 각의 이등분선이 갖는 기하학적 성질(중심을 지난다)을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 y절편
“
원 위의 두 점에서 그은 각각의 접선의 교점을 찾고, 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P(-1,3)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 원 위의 점 Q(3,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
3. 두 접선의 방정식을 연립하여 교점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 사각형 OPRQ의 넓이를 구합니다. 이 사각형은 두 개의 합동인 직각삼각형(OPR과 OQR)으로 이루어져 있으므로, 한쪽 삼각형의 넓이를 구해 2배 하면 됩니다.
주의할 점:
두 접선이 수직임을 파악하면, 사각형 OPRQ가 한 변의 길이가 반지름인 정사각형이 되어 넓이를 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
원 위의 두 접선의 교점과 사각형 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 y축과 만나는 점의 좌표를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,-4)에서 원 x²+y²=2에 그은 두 접선의 방정식을 구해야 합니다.
2. 접선의 기울기를 m이라 두고, 점 (2,-4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름(√2)과 같다는 조건을 이용해 m에 대한 이차방정식을 풉니다.
4. 두 개의 m값이 나오면, 각각의 접선의 방정식을 완성합니다.
5. 각 접선의 방정식에서 y절편(x=0일 때 y값)을 구하면 그것이 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
접선의 방정식을 구하는 과정에서 계산이 복잡할 수 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 x절편
“
원 위의 한 점에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 (1,2)인 원 위의 점 (-2,6)에서의 접선의 방정식을 구합니다. (공식: (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r²)
2. 구한 접선의 x절편과 y절편을 각각 찾습니다.
3. x절편과 y절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
중심이 원점이 아닌 원 위의 점에서의 접선 공식을 정확하게 암기하거나, (기울기) * (반지름의 기울기) = -1 이라는 수직 조건을 이용해 유도할 수 있어야 합니다.
”
중심이 원점 아닌 원의 접선과 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 접선이 x축과 만나는 점, 즉 x절편을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (0,3)에서 원 x²+y²=1에 그은 접선의 방정식을 구합니다.
2. 접선의 기울기를 m으로 두는 방법보다, 접점을 (x₁, y₁)로 두고 푸는 것이 더 효율적입니다.
3. 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 이고, 이 직선이 (0,3)을 지나므로 3y₁=1, 즉 y₁=1/3 입니다.
4. 접점이 원 위의 점이므로 x₁²+y₁²=1 에서 x₁값을 구합니다.
5. 접선의 방정식이 완성되면, y=0을 대입하여 x절편 k를 구합니다. k² 값을 최종적으로 계산합니다.
주의할 점:
원 밖의 점이 좌표축 위에 있을 경우, 접점을 미지수로 두는 것이 계산을 더 간편하게 만드는 경우가 많습니다.
”
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식
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원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원에 접할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (-1,2)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원에도 접해야 합니다.
3. 두 번째 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 두 번째 원의 중심과 1단계에서 구한 접선 사이의 거리가 두 번째 원의 반지름과 같다는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
하나의 직선이 두 개의 다른 원에 접하는 상황을 식으로 표현하는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식이 핵심적인 역할을 합니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 조건
