“
원 위의 점에서의 접선이 원 밖의 특정 점을 지날 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점을 P(x₁, y₁)로 설정합니다.
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 입니다.
3. 이 접선이 원 밖의 점 (0,3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 y₁의 값을 먼저 구합니다.
4. 점 P(x₁, y₁)는 원 위의 점이기도 하므로, x₁²+y₁²=1 이 성립합니다. 이 식에 y₁ 값을 대입하여 x₁ 값을 구합니다.
5. 제1사분면 위의 점이라는 조건에 맞는 좌표를 선택합니다.
주의할 점:
이 문제의 풀이는 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접점을 지나는 직선(극선)’의 방정식을 구하는 원리와도 연결됩니다.
”
원 밖의 점을 지나는 접점의 좌표
“
원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 만나도록 하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (3,-4)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원과 만나려면(한 점 또는 두 점에서), **두 번째 원의 중심에서 이 접선까지의 거리가 두 번째 원의 반지름보다 작거나 같아야** 합니다.
3. 두 번째 원의 중심과 반지름을 구합니다.
4. 중심과 접선 사이의 거리를 구하고, 반지름보다 작거나 같다는 부등식을 풀어 자연수 r의 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
‘만난다’는 것은 ‘접하는 경우’와 ‘두 점에서 만나는 경우’를 모두 포함하므로, 거리 d와 반지름 r의 관계는 d ≤ r 이 됩니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원과 만날 조건
“
원 위의 점에서의 접선과 관련된 여러 점들의 기하학적 관계를 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P를 (x₁, y₁)로 두고, 접선, 점 B, 점 H의 좌표를 모두 x₁, y₁으로 표현합니다.
2. 주어진 조건 2AH = HB를 x₁, y₁에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 점 P가 원 위의 점이라는 조건(x₁²+y₁²=4)과 연립하여 접점 P의 좌표를 구합니다.
4. 삼각형 PAB의 세 꼭짓점 좌표를 모두 알았으므로, 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
문제의 모든 조건을 좌표와 길이를 이용한 식으로 정확하게 변환하는 능력이 필요합니다. 계산 과정이 복잡하므로 주의가 요구됩니다.
”
원 위의 점 접선과 여러 점의 관계
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 y절편으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 (3,1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원(x²+y²=1)에 접할 조건(중심과의 거리가 반지름과 같다)을 이용해, m에 대한 이차방정식을 풉니다. 두 개의 m값이 나옵니다.
3. 각각의 m값에 대해 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 두 접선의 y절편(점 B, C)을 각각 구합니다.
5. 세 점 A(3,1), B, C로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식을 먼저 구하여 푸는 방법도 있지만, 기울기를 미지수로 설정하는 것이 더 일반적인 풀이법입니다.
”
원 밖에서 그은 접선과 삼각형 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 y축으로 둘러싸인 도형(삼각형)의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원 밖의 점 (3,0)에서 원에 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
– (방법) 접점을 (x₁, y₁)로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 이 직선이 (3,0)을 지남을 이용합니다. 접점이 원 위의 점이라는 조건과 연립하여 접점을 찾습니다.
2. 두 개의 접선의 방정식을 각각 구합니다.
3. 각 접선이 y축과 만나는 점, 즉 y절편을 구합니다.
4. 두 y절편과 점 (3,0)을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 계산합니다. (밑변은 y축 위에, 높이는 점의 x좌표가 됨)
주의할 점:
원 밖의 한 점에서 그은 접선을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하거나, 이 풀이처럼 접점을 미지수로 두는 방법 모두 익숙해져야 합니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 기울기의 합
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 기울기의 합을 묻는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (3,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원에 접하므로, 원의 중심 (1,1)과 직선 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 정리하면 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기입니다.
4. 문제에서 ‘기울기의 합’을 요구했으므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
기울기를 직접 구하려고 하면 계산이 복잡해질 수 있습니다. ‘모든 값의 합’을 묻는 것은 근과 계수의 관계를 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
원과 만나는 직선 기울기의 최댓값
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원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 만날 때, 그 직선의 기울기의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 직선이 원에 접할 때 발생합니다.
접근법:
1. 점 (4,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=12와 만나야 하므로, 원의 중심 (0,0)과 직선 사이의 거리가 반지름(√12)보다 작거나 같아야 합니다.
3. 기울기가 최대 또는 최소가 되는 순간은 직선이 원에 접하는 순간입니다.
4. 따라서, 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 m에 대한 이차방정식을 풀고, 두 기울기 중 큰 값을 최댓값으로 선택합니다.
주의할 점:
점이 원 밖에 있을 때, 그 점을 지나는 직선의 기울기는 접할 때 최대/최소를 갖는다는 기하학적 상황을 이해하는 것이 중요합니다.
”
한 원 넓이 이등분, 다른 원에 접하는 직선
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한 원의 넓이를 이등분하고 다른 원에 접하는 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 그 원의 중심 (2,-3)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (2,-3)을 지나고 원 x²+y²=1에 접하는 직선’을 찾는 문제로 단순화됩니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (2,-3)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 x²+y²=1의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세워 m값을 구합니다.
5. m에 대한 이차방정식이 나오므로, 근과 계수의 관계를 통해 기울기의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고, 다른 원 넓이 이등분
“
한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선 문제입니다. 454번과 조건의 순서만 바뀌었습니다.
접근법:
1. 직선이 원 O’의 넓이를 이등분하므로, 원 O’의 중심 (0,4)를 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (0,4)를 지나고 원 O에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (0,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 O의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 문제의 조건에 맞는 양수 기울기를 선택하여 직선을 완성하고, 주어진 점을 대입해 a값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 어떤 순서로 해석하든, 결국 ‘특정 점을 지나고 원에 접하는 직선’을 찾는 문제로 귀결됩니다.
”
두 접선이 이루는 각의 이등분선
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P와 원의 중심 C를 지나는 직선은 두 접선이 이루는 각을 항상 이등분합니다.
2. 또한, 점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선도 두 접선이 이루는 각(의 외각)을 이등분합니다.
3. 따라서, **직선 PC의 방정식**과, **점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선의 방정식** 두 개를 구하면 됩니다.
4. 점 P(3,0)와 원의 중심 (1,-2)의 좌표를 이용해 두 직선의 방정식을 각각 구하고, 계수를 비교합니다.
주의할 점:
두 접선 자체를 구하는 것은 매우 복잡합니다. 각의 이등분선이 갖는 기하학적 성질(중심을 지난다)을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 y절편
