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원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 만날 때, 그 직선의 기울기의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이는 직선이 원에 접할 때 발생합니다.
접근법:
1. 점 (4,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=12와 만나야 하므로, 원의 중심 (0,0)과 직선 사이의 거리가 반지름(√12)보다 작거나 같아야 합니다.
3. 기울기가 최대 또는 최소가 되는 순간은 직선이 원에 접하는 순간입니다.
4. 따라서, 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 m에 대한 이차방정식을 풀고, 두 기울기 중 큰 값을 최댓값으로 선택합니다.
주의할 점:
점이 원 밖에 있을 때, 그 점을 지나는 직선의 기울기는 접할 때 최대/최소를 갖는다는 기하학적 상황을 이해하는 것이 중요합니다.
”
한 원 넓이 이등분, 다른 원에 접하는 직선
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한 원의 넓이를 이등분하고 다른 원에 접하는 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 그 원의 중심 (2,-3)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (2,-3)을 지나고 원 x²+y²=1에 접하는 직선’을 찾는 문제로 단순화됩니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (2,-3)을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 x²+y²=1의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 1과 같다는 등식을 세워 m값을 구합니다.
5. m에 대한 이차방정식이 나오므로, 근과 계수의 관계를 통해 기울기의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 이 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
한 원에 접하고, 다른 원 넓이 이등분
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한 원에 접하고 다른 원의 넓이를 이등분하는 직선 문제입니다. 454번과 조건의 순서만 바뀌었습니다.
접근법:
1. 직선이 원 O’의 넓이를 이등분하므로, 원 O’의 중심 (0,4)를 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (0,4)를 지나고 원 O에 접하는 직선’을 찾는 것으로 바뀝니다.
3. 접선의 기울기를 m이라 두고 점 (0,4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 이 직선과 원 O의 중심 (0,0) 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 조건을 이용해 m값을 구합니다.
5. 문제의 조건에 맞는 양수 기울기를 선택하여 직선을 완성하고, 주어진 점을 대입해 a값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 어떤 순서로 해석하든, 결국 ‘특정 점을 지나고 원에 접하는 직선’을 찾는 문제로 귀결됩니다.
”
두 접선이 이루는 각의 이등분선
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P와 원의 중심 C를 지나는 직선은 두 접선이 이루는 각을 항상 이등분합니다.
2. 또한, 점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선도 두 접선이 이루는 각(의 외각)을 이등분합니다.
3. 따라서, **직선 PC의 방정식**과, **점 P를 지나고 직선 PC에 수직인 직선의 방정식** 두 개를 구하면 됩니다.
4. 점 P(3,0)와 원의 중심 (1,-2)의 좌표를 이용해 두 직선의 방정식을 각각 구하고, 계수를 비교합니다.
주의할 점:
두 접선 자체를 구하는 것은 매우 복잡합니다. 각의 이등분선이 갖는 기하학적 성질(중심을 지난다)을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
원 밖에서 그은 접선의 y절편
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원과 직선이 만나지 않을 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선이 만나지 않으려면, **원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름의 길이보다 커야** 합니다.
2. 주어진 원의 중심(0,0)과 반지름(2)을 찾습니다.
3. 원의 중심과 직선 y=√3x+k 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. ‘거리 > 반지름’ 이라는 부등식을 세우고, k에 대한 절댓값 부등식을 풀어 k의 범위를 구합니다.
주의할 점:
원과 직선의 위치 관계에 따른 d와 r의 대소 관계(dr)를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
원과 직선이 만나지 않을 조건 (d>r)
“
원이 직선과 만나지 않을 조건을 이용하여, 중심 좌표에 포함된 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (2a, a)와 반지름 5를 찾습니다.
2. 원의 중심과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리가 반지름 5보다 커야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 a에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀고, ‘제3사분면 위의 점’이라는 조건(2a
주의할 점:
중심의 좌표가 미지수이더라도 당황하지 말고 그대로 거리 공식에 대입하여 부등식을 풀면 됩니다. 사분면 조건을 마지막에 고려하는 것을 잊지 마세요.
”
만나지 않을 때 중심 좌표의 범위
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지름의 양 끝점으로 원을 구하고, 이 원이 직선과 만나지 않을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구하여, 중심과 반지름을 찾습니다.
2. 이 원의 중심과 직선 2x+y-k=0 사이의 거리가 반지름보다 커야 합니다.
3. 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀고, ‘자연수 k’의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
두 가지 기본 개념(지름으로 원 구하기, 만나지 않을 조건)을 순서대로 적용하는 문제입니다. 각 단계의 계산을 정확히 해야 합니다.
”
지름으로 원을 구하고 만나지 않을 조건
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한 직선이 한 원과는 만나지 않고, 다른 원과는 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1) 직선이 첫 번째 원과 만나지 않아야 하므로, (첫 번째 원의 중심과 직선 사이의 거리) > (첫 번째 원의 반지름) 이라는 부등식을 풀어 k의 범위를 구합니다.
2. (조건 2) 직선이 두 번째 원과 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로, (두 번째 원의 중심과 직선 사이의 거리) 3. 두 부등식의 해를 **모두 만족하는 공통 범위**를 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 위치 관계 조건을 각각 부등식으로 표현하고, 최종적으로 연립부등식을 푸는 문제입니다.
”
한 원과는 안 만나고 다른 원과는 만날 조건
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기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 공식을 유도하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 이 증명은 원과 직선의 방정식을 연립하여 만든 이차방정식의 판별식 D=0 임을 이용합니다.
2. (가): 판별식 D=b²-4ac 에서 a, c에 해당하는 부분을 정확히 찾습니다.
3. (나), (다): 판별식 D=0 이라는 방정식을 y절편 n에 대해 정리하여 n의 값을 구합니다. 이를 원래 직선의 방정식 y=mx+n에 대입하면 최종 공식이 완성됩니다.
주의할 점:
공식의 유도 과정을 이해하는 것은 개념을 깊이 있게 학습하는 데 도움이 됩니다. 판별식을 이용한 접근법은 원과 직선의 위치 관계를 다루는 가장 기본적인 방법입니다.
”
기울기가 주어진 접선 공식 유도 과정
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기울기가 주어진 원의 접선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 (-2,5)로 평행이동되었으므로, 먼저 중심이 원점인 경우의 접선 공식을 생각합니다.
2. 중심이 원점이고 반지름이 √10, 기울기가 3인 접선의 방정식은 y = 3x ± √10 * √(3²+1) 입니다.
3. 이 접선을 원의 중심이 (-2,5)가 되도록 x축으로 -2, y축으로 5만큼 **평행이동** 시켜주면 구하는 접선의 방정식이 됩니다.
4. 두 개의 접선 방정식이 나오며, 각 직선의 y절편을 찾아 곱합니다.
주의할 점:
중심이 (a,b)인 경우의 공식 y-b = m(x-a) ± r√(m²+1) 을 직접 사용하거나, 원점 중심 공식을 이용한 뒤 평행이동하는 방법 모두 가능합니다.
”
중심이 원점이 아닌 원의 접선
