“
평행이동한 원이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 방정식을 구하고, 그 중심의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 평행이동해도 반지름은 변하지 않습니다.
3. 새로운 원의 중심과 주어진 직선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 a에 대한 절댓값 방정식이 되며, 이를 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
원의 평행이동, 접선 조건(d=r) 등 기본 개념을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행이동한 원이 직선에 접할 조건
“
점의 평행이동 후, 그 점이 포물선(직선) 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P(a, a²)을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 점의 좌표를 구합니다.
2. 이 평행이동한 점이 직선 y=4x 위에 있으므로, 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 a에 대한 간단한 이차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
515번 문제와 구조가 동일하며, 점이 직선이 아닌 포물선에서 시작한다는 점만 다릅니다. ‘도형 위의 점’이라는 조건은 항상 ‘좌표를 대입하면 성립한다’로 해석하면 됩니다.
”
포물선 위의 점을 평행이동한 좌표
“
평행이동한 두 원의 중심 사이의 거리가 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원 C₁의 중심 좌표를 구합니다.
2. 원 C₁을 평행이동한 원 C₂의 중심 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 중심 C₁과 C₂ 사이의 거리가 √34 라는 조건을 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 a에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동해도 원의 반지름은 변하지 않으므로, 이 문제에서는 반지름 정보를 사용할 필요가 없습니다.
”
평행이동한 두 원의 중심 사이 거리
“
도형(직선)의 평행이동에 대한 문제입니다. 이동 후의 직선이 주어졌을 때, 원래 직선을 역으로 추적합니다.
접근법:
1. 직선 x+ay+b=0 을 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 -3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. 도형의 이동이므로 x 대신 (x-1), y 대신 (y-(-3))을 대입합니다.
2. 1단계에서 구한 직선의 방정식과, 문제에서 주어진 이동 후의 직선 x-2y+6=0 이 서로 일치해야 합니다.
3. 두 방정식의 계수를 비교하여 미지수 a, b의 값을 찾습니다.
주의할 점:
점의 평행이동(x→x+a)과 도형의 평행이동(x→x-a)의 부호 차이를 명확히 구분해야 실수를 막을 수 있습니다.
”
도형(직선)의 평행이동
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 특정 점을 지날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 4x-3y+k=0을 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. (x 대신 x+2, y 대신 y-2 대입)
2. 1단계에서 구한 평행이동된 직선이 점 (3,-1)을 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동 시 부호에 주의하여 정확히 대입하는 것이 중요합니다. x축으로 -2만큼 이동은 x 대신 (x+2)를 대입하는 것입니다.
”
평행이동한 직선이 특정 점을 지날 조건
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축으로 m, y축으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 1단계에서 구한 직선의 x절편과 y절편을 각각 m을 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 **1/2 * |x절편| * |y절편|** 입니다. 이 넓이가 18과 같다고 등식을 세웁니다.
4. m에 대한 이차방정식을 풀고, 문제에서 주어진 조건(m>2)에 맞는 m값을 선택합니다.
주의할 점:
절편을 이용해 넓이를 계산할 때, 절편 값이 음수일 수 있으므로 절댓값을 취해야 하지만, 이 문제에서는 그림을 통해 부호를 판단할 수 있습니다.
”
평행이동한 직선과 축이 이루는 넓이
“
평행이동한 직선이 다른 직선과 x축 위에서 수직으로 만날 조건을 이용하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 먼저 구합니다.
2. (x축 위에서 만남) 두 직선의 교점이 x축 위에 있다는 것은, 두 직선의 x절편이 같다는 의미입니다.
3. 원래 직선을 평행이동한 직선의 방정식을 구하고, 이 직선의 x절편을 b를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 다른 직선의 x절편을 구한 뒤, 두 x절편이 같다는 등식을 세워 b값을 구합니다.
주의할 점:
‘x축 위에서 만난다’는 조건을 ‘두 직선의 x절편이 같다’로 해석하는 것이 중요합니다. 수직 조건과 교점 조건을 모두 활용해야 합니다.
”
평행이동한 직선의 수직 교점 조건
“
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 찾습니다.
3. 원래 직선 y=ax+a²을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
4. 이 평행이동한 직선이 2단계에서 구한 원의 중심을 지나야 하므로, 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
5. 대입하면 a에 대한 이차방정식이 만들어지며, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
원의 넓이 이등분 조건이 ‘원의 중심을 지난다’는 사실로 변환된다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분
“
평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 직선에 적용하여 최종적으로 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 첫 번째 직선을 평행이동한 식이 두 번째 직선과 일치함을 이용해, x축과 y축으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지(m값)를 찾습니다.
2. (옮겨지는 직선 찾기) ‘4x+y-3=0으로 옮겨지는’ 원래 직선을 찾아야 합니다. 이는 4x+y-3=0을 1단계에서 찾은 규칙의 **반대 방향**으로 평행이동하면 됩니다.
3. 2단계에서 찾은 원래 직선의 x절편과 y절편을 구해, 좌표축과 둘러싸인 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
문제에서 ‘A가 B로 옮겨진다’와 ‘A로 옮겨지는 B’의 차이를 명확히 구분해야 합니다. 후자는 역방향의 평행이동을 적용해야 합니다.
”
평행이동 규칙을 역으로 적용하기
“
평행이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x를 x축 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=4에 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 2와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동과 원의 접선 조건이 결합된 기본 유형입니다. ‘접한다’는 조건을 ‘d=r’로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원에 접할 조건
