“
원의 평행이동 규칙을 찾아서, 그 규칙을 포물선에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 각각의 중심을 찾습니다. 첫 번째 중심이 두 번째 중심으로 어떻게 이동했는지 파악하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. (포물선에 적용) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. 이 꼭짓점을 1단계에서 찾은 평행이동 규칙에 따라 이동시키면, 새로운 포물선의 꼭짓점 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
도형의 종류(원, 포물선)는 다르지만, 적용되는 평행이동 규칙은 동일합니다. 각 도형의 기준점(원의 중심, 포물선의 꼭짓점)의 이동으로 생각하면 편리합니다.
”
원의 평행이동 규칙을 포물선에 적용
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f(x,y)=0 형태로 주어진 평행이동 규칙을 해석하고, 포물선의 꼭짓점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 해석) f(x,y)=0 이 f(x-a, y+a)=0 으로 이동하는 것은, 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -a만큼 평행이동한 것입니다.
2. (꼭짓점 찾기) 원래 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
3. (꼭짓점 이동) 2단계에서 구한 꼭짓점을 1단계의 규칙에 따라 평행이동한 새로운 꼭짓점의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 이 새로운 꼭짓점이 직선 y=x+2 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
f(x-a, y-b)=0 형태의 도형 이동 규칙을 정확히 해석해야 합니다. x-a는 x축으로 +a만큼, y+a는 y축으로 -a만큼 이동을 의미합니다.
”
f(x,y)=0 형태의 포물선 평행이동
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평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선을 x축으로 a, y축으로 -2만큼 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=x+1이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(두 점/한 점(접함)/만나지 않음)는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호(D>0, D=0, D
”
평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건
“
평행이동한 포물선과 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점이 원점일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=mx를 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식의 두 근(α, β)이 바로 두 교점 P, Q의 x좌표입니다.
4. 두 교점 P, Q의 중점이 원점이므로, 중점의 x좌표 (α+β)/2 = 0, 즉 **α+β = 0** 입니다.
5. 2단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 ‘두 근의 합’이 0이 되도록 하는 m값을 구합니다.
주의할 점:
중점이 원점이라는 조건을 ‘두 교점 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
평행이동한 포물선 교점의 중점 조건
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평행이동에 의해 두 원이 겹쳐질 수 있는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 평행이동은 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 옮기는 것입니다.
2. 따라서 두 원이 평행이동으로 겹쳐지려면, 두 원의 반지름의 길이가 반드시 같아야 합니다.
3. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름의 길이를 구합니다.
4. 보기의 각 원들을 표준형으로 변환하여 반지름의 길이를 구하고, 주어진 원과 반지름이 같은 것들을 모두 찾습니다.
주의할 점:
평행이동으로 겹쳐질 수 있다는 것은 반지름이 같다는 의미, 대칭이동으로 겹쳐질 수 있다는 것도 반지름이 같다는 의미입니다.
”
평행이동으로 겹쳐지는 원의 조건
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두 가지 다른 평행이동을 여러 번 반복 시행했을 때의 최종 위치를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 평행이동 f는 x축 방향으로 -4/3만큼 이동하는 것이고, g는 y축 방향으로 3/5만큼 이동하는 것입니다.
2. f를 m번 시행하면 x좌표는 m * (-4/3) 만큼 변하고, g를 n번 시행하면 y좌표는 n * (3/5) 만큼 변합니다.
3. 처음 점 (1,2)에 이 변화량을 적용한 최종 좌표를 구합니다: (1 – (4/3)m, 2 + (3/5)n)
4. 이 최종 좌표가 (-11, 5)와 같다고 놓고, x좌표와 y좌표에 대한 방정식을 각각 세워 m, n값을 구합니다.
주의할 점:
반복적인 평행이동은 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있음을 이해하는 것이 중요합니다.
”
반복적인 평행이동 후의 최종 좌표
“
점의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 원에 적용하여 미정계수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,5)가 (-1,a)로 이동하는 규칙을 통해, x축 방향 이동량(-2)과 y축 방향 이동량(a-5)을 찾습니다.
2. 원래 원의 중심(0,0)과 반지름(√21)을 구합니다.
3. 원래 원의 중심(0,0)을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동시켜, 새로운 원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 이동 후의 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심을 찾고, 3단계의 좌표와 비교하여 a, b값을 구합니다.
5. 평행이동해도 반지름은 변하지 않으므로, 반지름 조건을 이용해 c값을 구합니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 원의 중심의 평행이동으로 생각하는 것이 가장 간단합니다. 반지름은 변하지 않습니다.
”
점의 이동 규칙을 원에 적용하기
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연속적인 평행이동으로 만들어진 세 점을 지나는 원의 중심이 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C의 좌표를 미지수 m, n을 이용해 나타냅니다. A(-2,1), B(-2+m,1), C(-2+m, 1+n).
2. 세 점의 위치 관계를 보면, 선분 AB는 x축에 평행하고, 선분 BC는 y축에 평행하므로 **각 ABC는 90도**입니다.
3. 따라서 세 점 A, B, C를 지나는 원은 **선분 AC를 지름**으로 하는 원입니다.
4. 원의 중심은 지름 AC의 중점입니다. A와 C의 좌표를 이용해 중점을 구하고, 이 중점이 주어진 중심 (3,2)와 같다고 놓고 m, n값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 통해 직각삼각형임을 파악하고, 직각삼각형의 외심(원의 중심)은 빗변의 중점이라는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 평행이동과 직각삼각형의 외심
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평행이동한 원의 넓이를 직선이 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 원을 x축으로 3만큼, y축으로 a만큼 평행이동한 새로운 원의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 원의 중심 좌표를 찾습니다.
3. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
4. 2단계에서 구한 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 중심의 평행이동으로 생각하고, 넓이 이등분 조건은 중심을 지나는 것으로 해석하면 문제가 간단해집니다.
”
평행이동한 원의 넓이 이등분선
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점의 평행이동 전후 좌표를 비교하여 이동한 거리를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-4,3)을 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는 (-4+a, 3+b) 입니다.
2. 이 점이 (1,5)와 같으므로, x좌표와 y좌표를 각각 비교하여 등식을 세웁니다.
3. -4+a = 1 에서 a값을, 3+b = 5 에서 b값을 구합니다.
주의할 점:
이동한 거리를 구할 때는 ‘나중 좌표 – 처음 좌표’로 계산해야 합니다. 부호에 주의하세요.
”
점의 평행이동 규칙 찾기
