“
연속적인 대칭이동 후 점이 위치하는 사분면을 통해 원래 점의 좌표의 부호를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 점 (a,b)를 주어진 순서대로 대칭이동시킵니다.
– x축 대칭: (a, -b)
– y=x 대칭: (-b, a)
2. 최종적으로 이동된 점 (-b, a)가 제2사분면 위에 있습니다.
3. 제2사분면 위의 점은 (x좌표 0) 이므로, -b0 이라는 부등식을 얻습니다.
4. 이 부등식을 통해 a와 b 각각의 부호를 확정하고, 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
각 사분면의 부호 조건을 정확히 알고 있어야 하며, 부등식을 통해 원래 미지수의 부호를 추론하는 과정이 중요합니다.
”
연속 대칭이동과 사분면
“
여러 점들이 대칭이동된 후, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 x축, y축에 대칭이동한 점 B, C의 좌표를 각각 구합니다.
2. 점 D를 y축에 대칭이동한 점 E의 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 세 점 B, C, E가 한 직선 위에 있으므로, **직선 BC의 기울기와 직선 CE의 기울기가 같다**는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a와 b 사이의 관계식을 얻을 수 있습니다.
5. 문제에서 요구하는 직선 AD의 기울기를 a, b에 대한 식으로 표현하고, 4단계의 관계식을 이용해 값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 공선 조건(기울기가 같다)을 이용해 미지수 사이의 관계식을 이끌어내는 것이 핵심입니다.
”
대칭이동한 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
“
평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하려면, **두 원의 공통현이 둘레가 이등분되는 원의 지름**이 되어야 합니다. 이는 공통현이 그 원의 중심을 지난다는 것을 의미합니다.
2. 먼저 x²+y²=25를 평행이동한 원의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다. (한 원의 방정식에서 다른 원의 방정식을 뺀다)
4. 이 공통현이 둘레가 이등분되는 원 (x-2)²+(y+1)²=10 의 중심 (2,-1)을 지나야 합니다.
5. 중심 좌표를 공통현 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘둘레를 이등분한다’는 조건을 ‘공통현이 중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분
“
연속적인 대칭이동으로 만들어진 세 점으로 구성된 삼각형의 넓이를 이용해 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 점 A를 (a, a+8)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x 대칭한 점 B, 점 B를 원점 대칭한 점 C의 좌표를 각각 a에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 세 점 A, B, C의 위치 관계를 보면, 삼각형 ABC는 항상 **직각삼각형**이 됨을 알 수 있습니다.
4. 두 변 AB와 AC의 길이를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 직각삼각형의 넓이 공식을 이용해 넓이를 구하고, 이 값이 256과 같다는 방정식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 파악하여 직각삼각형임을 알아내는 것이 중요합니다. 이를 통해 넓이 계산을 간단히 할 수 있습니다.
”
연속 대칭이동과 직각삼각형 넓이
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 특정 점을 지날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 4x-3y+k=0을 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. (x 대신 x+2, y 대신 y-2 대입)
2. 1단계에서 구한 평행이동된 직선이 점 (3,-1)을 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동 시 부호에 주의하여 정확히 대입하는 것이 중요합니다. x축으로 -2만큼 이동은 x 대신 (x+2)를 대입하는 것입니다.
”
평행이동한 직선이 특정 점을 지날 조건
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 좌표축과 이루는 삼각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축으로 m, y축으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 1단계에서 구한 직선의 x절편과 y절편을 각각 m을 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 **1/2 * |x절편| * |y절편|** 입니다. 이 넓이가 18과 같다고 등식을 세웁니다.
4. m에 대한 이차방정식을 풀고, 문제에서 주어진 조건(m>2)에 맞는 m값을 선택합니다.
주의할 점:
절편을 이용해 넓이를 계산할 때, 절편 값이 음수일 수 있으므로 절댓값을 취해야 하지만, 이 문제에서는 그림을 통해 부호를 판단할 수 있습니다.
”
평행이동한 직선과 축이 이루는 넓이
“
평행이동한 직선이 다른 직선과 x축 위에서 수직으로 만날 조건을 이용하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 먼저 구합니다.
2. (x축 위에서 만남) 두 직선의 교점이 x축 위에 있다는 것은, 두 직선의 x절편이 같다는 의미입니다.
3. 원래 직선을 평행이동한 직선의 방정식을 구하고, 이 직선의 x절편을 b를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 다른 직선의 x절편을 구한 뒤, 두 x절편이 같다는 등식을 세워 b값을 구합니다.
주의할 점:
‘x축 위에서 만난다’는 조건을 ‘두 직선의 x절편이 같다’로 해석하는 것이 중요합니다. 수직 조건과 교점 조건을 모두 활용해야 합니다.
”
평행이동한 직선의 수직 교점 조건
“
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 찾습니다.
3. 원래 직선 y=ax+a²을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
4. 이 평행이동한 직선이 2단계에서 구한 원의 중심을 지나야 하므로, 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
5. 대입하면 a에 대한 이차방정식이 만들어지며, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
원의 넓이 이등분 조건이 ‘원의 중심을 지난다’는 사실로 변환된다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분
“
평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 직선에 적용하여 최종적으로 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 첫 번째 직선을 평행이동한 식이 두 번째 직선과 일치함을 이용해, x축과 y축으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지(m값)를 찾습니다.
2. (옮겨지는 직선 찾기) ‘4x+y-3=0으로 옮겨지는’ 원래 직선을 찾아야 합니다. 이는 4x+y-3=0을 1단계에서 찾은 규칙의 **반대 방향**으로 평행이동하면 됩니다.
3. 2단계에서 찾은 원래 직선의 x절편과 y절편을 구해, 좌표축과 둘러싸인 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
문제에서 ‘A가 B로 옮겨진다’와 ‘A로 옮겨지는 B’의 차이를 명확히 구분해야 합니다. 후자는 역방향의 평행이동을 적용해야 합니다.
”
평행이동 규칙을 역으로 적용하기
“
평행이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x를 x축 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=4에 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 2와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동과 원의 접선 조건이 결합된 기본 유형입니다. ‘접한다’는 조건을 ‘d=r’로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원에 접할 조건
