“
원의 평행이동을 이용하여 미정계수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 (x-a)²+(y+4)²=16 을 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -5만큼 평행이동한 원의 방정식을 구합니다.
2. 이동 후의 원의 방정식은 (x-2-a)²+(y+5+4)² = 16, 즉 (x-(a+2))²+(y+9)² = 16 이 됩니다.
3. 이 원이 문제에서 주어진 원 (x-8)²+(y-b)²=16 과 일치해야 합니다.
4. 중심의 x좌표, y좌표를 각각 비교하여 a와 b의 값을 찾습니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 중심점의 이동으로 생각하면 간단합니다. 원래 중심 (a, -4)가 이동하여 (a+2, -9)가 되고, 이 점이 새로운 중심 (8, b)와 같다고 놓고 풀면 됩니다.
”
원의 평행이동으로 계수 비교하기
“
내분점을 구하고, 그 점을 대칭이동하여 만들어진 삼각형의 무게중심을 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
2. 두 점 A, B를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 점 P를 x축, y축에 대해 각각 대칭이동한 점 Q, R의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 점 P, Q, R의 좌표를 모두 알았으므로, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심을 구합니다.
주의할 점:
절편, 내분점, 대칭이동, 무게중심 등 여러 단원의 기본 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 하는 문제입니다.
”
내분점, 대칭이동, 무게중심 종합
“
평행이동한 원이 x축과 y축에 동시에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 중심 좌표와 반지름을 미지수 a,b를 이용해 나타냅니다.
2. 이 새로운 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로, **|중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = 반지름** 이라는 조건이 성립해야 합니다.
3. 이 조건을 이용해 a, b에 대한 연립방정식을 풀고, ‘양수 a, b’라는 조건에 맞는 값을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동 후의 중심 좌표와 반지름을 정확히 구하고, x,y축 동시 접촉 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행이동 후 x,y축에 동시 접촉
“
두 직선의 수직 조건과 두 점의 y=x 대칭 조건을 모두 만족하는 점들의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 두 직선 OA와 OB가 수직이므로, 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. (나) 조건: 점 B와 C는 y=x에 대해 대칭이므로, 점 C의 좌표는 점 B의 좌표의 x, y를 바꾼 것과 같습니다.
3. 이제 두 점 A와 C의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 y절편을 찾습니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 순서대로 적용하여 모든 미지수의 값을 결정하는 문제입니다. 각 조건이 어떤 기하학적, 대수적 의미를 갖는지 정확히 해석해야 합니다.
”
수직 조건과 y=x 대칭 조건
“
평행이동한 원이 직선 y=x와 x축에 동시에 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 중심 좌표와 반지름을 구합니다.
2. (x축 접촉 조건) 원이 x축에 접하므로, |중심의 y좌표| = 반지름 입니다. 이 식을 통해 a와 b의 관계를 찾습니다.
3. (y=x 접촉 조건) 원이 직선 y=x에 접하므로, 원의 중심과 직선 y=x 사이의 거리가 반지름과 같습니다.
4. 두 조건을 연립하여 a,b 값을 구하고, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
두 개의 다른 직선(x축, y=x)에 대한 접선 조건을 모두 식으로 표현하고 연립해야 하는 복잡한 문제입니다.
”
평행이동 후 두 직선에 동시 접촉
“
평행이동한 원이 원래 원의 중심을 지나고, 두 원이 공통 접선을 가질 때의 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 평행이동한 원 C’이 원래 원 C의 중심(1,0)을 지납니다. 이를 이용해 a, b 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (나) 조건: 두 원 모두 한 직선에 접하므로, 각 원의 중심에서 이 직선까지의 거리가 각 원의 반지름과 같아야 합니다.
3. 두 조건을 연립하여 a, b, r 값을 모두 구합니다.
주의할 점:
두 원이 한 직선에 동시에 접하는 상황을 기하학적으로 그려보면 문제 이해에 도움이 됩니다. 두 원의 중심과 직선의 위치 관계를 정확하게 식으로 표현해야 합니다.
”
평행이동과 공통접선, 중심을 지나는 원
“
포물선의 평행이동 문제입니다. 두 포물선이 평행이동으로 겹쳐지려면 이차항의 계수가 같아야 합니다.
접근법:
1. 두 포물선의 이차항 계수가 1로 같으므로 평행이동으로 겹칠 수 있습니다.
2. 각 포물선을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 첫 번째 포물선의 꼭짓점이 두 번째 포물선의 꼭짓점으로 어떻게 이동했는지 x, y 좌표의 변화량을 각각 계산합니다. 이 변화량이 바로 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각하는 것이 가장 간단합니다. 이차항의 계수가 다르면 평행이동으로 겹칠 수 없습니다.
”
포물선의 평행이동과 꼭짓점
“
원의 평행이동 규칙을 찾아서, 그 규칙을 포물선에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 각각의 중심을 찾습니다. 첫 번째 중심이 두 번째 중심으로 어떻게 이동했는지 파악하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. (포물선에 적용) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. 이 꼭짓점을 1단계에서 찾은 평행이동 규칙에 따라 이동시키면, 새로운 포물선의 꼭짓점 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
도형의 종류(원, 포물선)는 다르지만, 적용되는 평행이동 규칙은 동일합니다. 각 도형의 기준점(원의 중심, 포물선의 꼭짓점)의 이동으로 생각하면 편리합니다.
”
원의 평행이동 규칙을 포물선에 적용
“
f(x,y)=0 형태로 주어진 평행이동 규칙을 해석하고, 포물선의 꼭짓점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 해석) f(x,y)=0 이 f(x-a, y+a)=0 으로 이동하는 것은, 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -a만큼 평행이동한 것입니다.
2. (꼭짓점 찾기) 원래 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
3. (꼭짓점 이동) 2단계에서 구한 꼭짓점을 1단계의 규칙에 따라 평행이동한 새로운 꼭짓점의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 이 새로운 꼭짓점이 직선 y=x+2 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
f(x-a, y-b)=0 형태의 도형 이동 규칙을 정확히 해석해야 합니다. x-a는 x축으로 +a만큼, y+a는 y축으로 -a만큼 이동을 의미합니다.
”
f(x,y)=0 형태의 포물선 평행이동
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평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선을 x축으로 a, y축으로 -2만큼 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=x+1이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(두 점/한 점(접함)/만나지 않음)는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호(D>0, D=0, D
”
평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건
