“
한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
“
578번 문제와 동일하게, 포물선을 연속적으로 대칭이동시킨 후 꼭짓점의 위치를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (포물선 이동) 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축에 대해 대칭이동하여 최종 포물선의 방정식을 구합니다.
2. (꼭짓점 찾기) 최종 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 이 꼭짓점이 직선 y=ax+7 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 순서(원점 -> x축)를 정확히 지켜야 합니다. 꼭짓점을 먼저 구해서 이동시키는 방법도 유효합니다.
”
포물선 연속 이동과 꼭짓점이 직선 위
“
두 직선이 직선 y=x에 대하여 서로 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 직선(예: 첫 번째 직선)을 y=x에 대해 대칭이동 시킵니다. (x와 y를 바꿈)
2. 이 대칭이동된 직선이 다른 한 직선과 완전히 일치해야 합니다.
3. 두 직선의 방정식이 일치할 조건, 즉 계수의 비가 모두 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 연립하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
두 도형이 y=x 대칭이라는 것은, 하나를 y=x 대칭시켰을 때 다른 하나와 겹쳐진다는 의미입니다.
”
두 직선이 y=x에 대해 대칭일 조건
“
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=ax+2가 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로, 판별식 D=0 이라는 등식을 세웁니다.
4. a에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 ‘모든 a의 값의 합’을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동, 포물선과 직선의 위치 관계(접선) 등 여러 개념이 결합된 문제입니다. 판별식 D=0 조건을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건
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f(x,y)=0 형태로 주어진 평행이동 규칙을 해석하고, 포물선의 꼭짓점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 해석) f(x,y)=0 이 f(x-a, y+a)=0 으로 이동하는 것은, 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -a만큼 평행이동한 것입니다.
2. (꼭짓점 찾기) 원래 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
3. (꼭짓점 이동) 2단계에서 구한 꼭짓점을 1단계의 규칙에 따라 평행이동한 새로운 꼭짓점의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 이 새로운 꼭짓점이 직선 y=x+2 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
f(x-a, y-b)=0 형태의 도형 이동 규칙을 정확히 해석해야 합니다. x-a는 x축으로 +a만큼, y+a는 y축으로 -a만큼 이동을 의미합니다.
”
f(x,y)=0 형태의 포물선 평행이동
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평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선을 x축으로 a, y축으로 -2만큼 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=x+1이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(두 점/한 점(접함)/만나지 않음)는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호(D>0, D=0, D
”
평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건
“
평행이동한 포물선과 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점이 원점일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=mx를 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식의 두 근(α, β)이 바로 두 교점 P, Q의 x좌표입니다.
4. 두 교점 P, Q의 중점이 원점이므로, 중점의 x좌표 (α+β)/2 = 0, 즉 **α+β = 0** 입니다.
5. 2단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 ‘두 근의 합’이 0이 되도록 하는 m값을 구합니다.
주의할 점:
중점이 원점이라는 조건을 ‘두 교점 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
평행이동한 포물선 교점의 중점 조건
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포물선의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 직선에 적용하여 두 평행한 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 포물선을 각각 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 두 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 방향 이동량)을 구합니다.
2. (직선에 적용) 원래 직선 l을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동하여 새로운 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. 이제 두 직선 l과 l’은 서로 평행합니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
포물선의 이동은 꼭짓점의 이동으로, 직선의 이동은 방정식에 직접 대입하여 구하는 것이 일반적입니다. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 잊지 말아야 합니다.
”
포물선 이동 규칙으로 평행한 직선 거리 구하기
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대칭이동의 규칙을 이용하여 점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (x축 대칭) 점 A(3,a)를 x축에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다. (y좌표의 부호만 바뀜)
2. (y=x 대칭) 점 B(5,b)를 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’의 좌표를 구합니다. (x좌표와 y좌표를 서로 바꿈)
3. 두 점 A’과 B’이 일치하므로, 각 좌표 성분이 같다고 등식을 세워 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
각 대칭이동(x축, y축, 원점, y=x)에 따라 점의 좌표가 어떻게 변하는지에 대한 기본 규칙을 정확히 암기하고 있어야 합니다.
”
대칭이동의 기본 규칙
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연속적인 대칭이동 후, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(2,4)를 y축에 대해 대칭이동한 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점 P를 원점에 대해 대칭이동한 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 P와 Q의 좌표를 모두 알았으므로, **두 점 사이의 거리 공식**을 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
이동 순서를 정확히 지켜야 합니다. y축 대칭 후 원점 대칭을 하는 것과, 원점 대칭 후 y축 대칭을 하는 것은 결과가 다를 수 있습니다.
”
연속적인 대칭이동 후 두 점 사이 거리
