“
주어진 도형을 y=x에 대해 대칭이동했을 때, 모양이 변하지 않는 도형을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. y=x 대칭은 도형 위의 모든 점 (a,b)를 (b,a)로 옮기는 변환입니다.
2. 도형이 이 대칭이동에 대해 불변이려면, 그 도형 자체가 직선 y=x에 대해 선대칭이어야 합니다.
3. (보기 ㄱ, ㄹ) 중심이 y=x 위에 있는 원은 대칭입니다.
4. (보기 ㄷ) 직선 y=-x는 y=x와 수직이므로 대칭입니다.
5. (보기 ㄴ) 일반적인 직선은 대칭이 아닙니다. (단, 기울기가 1이거나, y=x와 수직이면서 y=x 위의 점을 지나는 경우는 예외)
주의할 점:
각 도형의 기하학적 특징을 보고 y=x에 대한 대칭성을 직관적으로 판단할 수 있어야 합니다.
”
y=x에 대해 변하지 않는 도형
“
대칭이동한 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 y=x에 대해 대칭이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 원의 중심 사이의 거리) + (두 원의 반지름의 합)** 입니다.
4. 두 원의 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 구하고, 각 원의 반지름(동일함)을 더하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 최대/최소 공식(d+r₁+r₂, d-r₁-r₂)을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 두 원 위 점 사이 최대 거리
“
원 위의 점, 대칭이동, 수직인 직선 등 여러 조건이 복합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 두 점 A₁, A₂의 y좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 A₁B와 수직인 직선은 B를 지나고, 마찬가지로 A₂B와 수직인 직선도 B를 지납니다. 이 수직인 두 직선이 원과 만나는 점이 C₁, C₂입니다.
3. 기하학적으로, A₁BC₁과 A₂BC₂는 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 됩니다. 따라서 A₁C₁과 A₂C₂는 모두 원의 지름입니다.
4. 이는 점 C₁, C₂가 각각 A₁, A₂를 **원점에 대해 대칭이동**한 점임을 의미합니다.
5. A₁, A₂의 좌표를 이용해 C₁, C₂의 좌표를 구하고, 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
수직 조건과 원의 성질을 결합하여, ‘지름에 대한 원주각은 90도’임을 파악하고, 최종적으로 원점 대칭 관계임을 추론하는 과정이 핵심입니다.
”
원 위의 점, 대칭이동, 수직 조건 종합
“
원점에 대한 대칭이동과 x축에 대한 대칭이동을 순차적으로 적용하여 원의 중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원의 중심 좌표를 찾습니다.
2. 이 중심을 원점에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다. (새로운 원 C₁의 중심)
3. 원 C₁의 중심을 다시 x축에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다. 이것이 최종 원 C₂의 중심 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
대칭이동의 순서를 정확히 지켜야 합니다. 원점 대칭 후 x축 대칭과, x축 대칭 후 원점 대칭은 결과가 다릅니다.
”
원의 연속적인 대칭이동과 중심
“
직선의 대칭이동과 수직 조건을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x+6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 1단계에서 구한 대칭이동된 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다. (기울기 곱 = -1)
3. 2단계에서 구한 기울기를 가지고 점 (2,3)을 지나는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
y=x에 대한 대칭이동은 x와 y의 역할을 바꾸는 것입니다. 대칭이동된 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 정확히 구해야 합니다.
”
직선의 대칭이동과 수직 조건
“
포물선의 연속적인 대칭이동 후 꼭짓점의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (꼭짓점의 이동) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 먼저 구하지 말고, 이동 규칙을 먼저 분석합니다. 점 (x,y)를 원점 대칭하면 (-x,-y), 이를 다시 y축 대칭하면 (x,-y)가 됩니다.
2. **(방정식의 이동) 포물선 y=x²-2ax+b 를 원점 대칭하면 -y=(-x)²-2a(-x)+b 가 되고, 이를 다시 y축 대칭하면 -y=x²-2ax+b 가 됩니다.
3. 최종적으로 이동된 포물선 y=-x²+2ax-b 의 꼭짓점 좌표를 구하고, 이것이 (2,-1)과 같다고 놓고 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
포물선 전체를 이동시키는 것보다, 꼭짓점만 이동시키는 것이 계산이 더 간단할 수 있습니다. 두 가지 방법 모두 가능합니다.
”
포물선의 연속적인 대칭이동과 꼭짓점
“
한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
“
578번 문제와 동일하게, 포물선을 연속적으로 대칭이동시킨 후 꼭짓점의 위치를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (포물선 이동) 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축에 대해 대칭이동하여 최종 포물선의 방정식을 구합니다.
2. (꼭짓점 찾기) 최종 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 이 꼭짓점이 직선 y=ax+7 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 순서(원점 -> x축)를 정확히 지켜야 합니다. 꼭짓점을 먼저 구해서 이동시키는 방법도 유효합니다.
”
포물선 연속 이동과 꼭짓점이 직선 위
“
두 직선이 직선 y=x에 대하여 서로 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 직선(예: 첫 번째 직선)을 y=x에 대해 대칭이동 시킵니다. (x와 y를 바꿈)
2. 이 대칭이동된 직선이 다른 한 직선과 완전히 일치해야 합니다.
3. 두 직선의 방정식이 일치할 조건, 즉 계수의 비가 모두 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 연립하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
두 도형이 y=x 대칭이라는 것은, 하나를 y=x 대칭시켰을 때 다른 하나와 겹쳐진다는 의미입니다.
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두 직선이 y=x에 대해 대칭일 조건
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대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=ax+2가 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로, 판별식 D=0 이라는 등식을 세웁니다.
4. a에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 ‘모든 a의 값의 합’을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동, 포물선과 직선의 위치 관계(접선) 등 여러 개념이 결합된 문제입니다. 판별식 D=0 조건을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건
