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직선의 평행이동과 대칭이동의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 평행이동은 직선의 기울기를 변화시키지 않습니다. 따라서 두 직선의 기울기는 항상 같습니다.
2. (보기 ㄴ) 직선을 y축에 대해 대칭이동(x→-x)한 후, 두 직선의 기울기를 구해 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 직선을 원점에 대해 대칭이동(x→-x, y→-y)한 후, 두 직선이 평행한지(기울기는 같고 y절편은 다른지) 확인합니다.
주의할 점:
각 이동이 직선의 기울기와 y절편에 어떤 영향을 미치는지 기하학적으로 이해하고 있으면 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
직선 이동의 기본 성질 판별
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주어진 직선을 다른 직선으로 옮길 수 있는 평행이동과 대칭이동의 조합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선은 서로 평행합니다. 따라서 대칭이동 없이 평행이동만으로 옮길 수 있습니다.
2. 각 보기의 이동 규칙을 원래 직선(x+2y-6=0)에 적용해보고, 그 결과가 목표 직선(x+2y+4=0)과 일치하는지 확인합니다.
3. (평행이동) x 대신 (x-a), y 대신 (y-b)를 대입합니다.
4. (대칭이동) 원점 대칭은 x→-x, y→-y를 대입합니다.
주의할 점:
여러 가지 이동 방법이 가능할 수 있으므로, 모든 보기를 하나씩 점검해야 합니다.
”
두 직선을 옮기는 이동 규칙 찾기
“
연속적인 이동(평행, 대칭)을 거친 직선이 특정 점을 지날 때, 원래 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2,0)을 지나고 기울기가 m인 직선 l의 방정식을 세웁니다.
2. 1단계의 직선을 주어진 순서(y축 평행이동 → x축 대칭이동)에 따라 변환하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
3. 이 최종 직선이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(y축 평행이동: y→y-a, x축 대칭이동: y→-y)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
연속 이동 후 특정 점을 지날 조건
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연속적인 이동(대칭, 평행)을 거친 직선이 원과 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y=x에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축 방향으로 -2만큼 평행이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원 x²+y²=a 와 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √a와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, a값을 구한 뒤 25a²을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙과 원의 접선 조건(d=r)을 모두 정확하게 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
연속 이동한 직선이 원에 접할 조건
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대칭이동한 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 y=x에 대해 대칭이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 원의 중심 사이의 거리) + (두 원의 반지름의 합)** 입니다.
4. 두 원의 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 구하고, 각 원의 반지름(동일함)을 더하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 최대/최소 공식(d+r₁+r₂, d-r₁-r₂)을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 두 원 위 점 사이 최대 거리
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원 위의 점, 대칭이동, 수직인 직선 등 여러 조건이 복합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 두 점 A₁, A₂의 y좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 A₁B와 수직인 직선은 B를 지나고, 마찬가지로 A₂B와 수직인 직선도 B를 지납니다. 이 수직인 두 직선이 원과 만나는 점이 C₁, C₂입니다.
3. 기하학적으로, A₁BC₁과 A₂BC₂는 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 됩니다. 따라서 A₁C₁과 A₂C₂는 모두 원의 지름입니다.
4. 이는 점 C₁, C₂가 각각 A₁, A₂를 **원점에 대해 대칭이동**한 점임을 의미합니다.
5. A₁, A₂의 좌표를 이용해 C₁, C₂의 좌표를 구하고, 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
수직 조건과 원의 성질을 결합하여, ‘지름에 대한 원주각은 90도’임을 파악하고, 최종적으로 원점 대칭 관계임을 추론하는 과정이 핵심입니다.
”
원 위의 점, 대칭이동, 수직 조건 종합
“
원점에 대한 대칭이동과 x축에 대한 대칭이동을 순차적으로 적용하여 원의 중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원의 중심 좌표를 찾습니다.
2. 이 중심을 원점에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다. (새로운 원 C₁의 중심)
3. 원 C₁의 중심을 다시 x축에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다. 이것이 최종 원 C₂의 중심 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
대칭이동의 순서를 정확히 지켜야 합니다. 원점 대칭 후 x축 대칭과, x축 대칭 후 원점 대칭은 결과가 다릅니다.
”
원의 연속적인 대칭이동과 중심
“
직선의 대칭이동과 수직 조건을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x+6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 1단계에서 구한 대칭이동된 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다. (기울기 곱 = -1)
3. 2단계에서 구한 기울기를 가지고 점 (2,3)을 지나는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
y=x에 대한 대칭이동은 x와 y의 역할을 바꾸는 것입니다. 대칭이동된 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 정확히 구해야 합니다.
”
직선의 대칭이동과 수직 조건
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포물선의 연속적인 대칭이동 후 꼭짓점의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (꼭짓점의 이동) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 먼저 구하지 말고, 이동 규칙을 먼저 분석합니다. 점 (x,y)를 원점 대칭하면 (-x,-y), 이를 다시 y축 대칭하면 (x,-y)가 됩니다.
2. **(방정식의 이동) 포물선 y=x²-2ax+b 를 원점 대칭하면 -y=(-x)²-2a(-x)+b 가 되고, 이를 다시 y축 대칭하면 -y=x²-2ax+b 가 됩니다.
3. 최종적으로 이동된 포물선 y=-x²+2ax-b 의 꼭짓점 좌표를 구하고, 이것이 (2,-1)과 같다고 놓고 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
포물선 전체를 이동시키는 것보다, 꼭짓점만 이동시키는 것이 계산이 더 간단할 수 있습니다. 두 가지 방법 모두 가능합니다.
”
포물선의 연속적인 대칭이동과 꼭짓점
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한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
