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대칭이동을 이용한 최단 거리를 찾고, 경로 위의 점 좌표를 구하는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1, 2단계] 점 A를 Q가 움직이는 y축에 대해 대칭이동, 점 B를 P가 움직이는 직선 x-y+2=0에 대해 대칭이동하여 A’, B’을 구합니다.
2. [3단계] 최솟값은 두 대칭점 A’과 B’ 사이의 직선 거리입니다.
3. [4단계] 최단 경로가 되는 점 Q는 직선 A’B’과 y축의 교점, 점 P는 직선 A’B’과 직선 x-y+2=0의 교점입니다. 직선 A’B’의 방정식을 구해 각 교점을 찾습니다.
주의할 점:
각 점을 어떤 축/직선에 대해 대칭해야 하는지 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 계산량이 많은 문제입니다.
”
대칭이동 최단거리와 경로 위 점 좌표 구하기
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f(x,y)=0으로 표현된 도형의 복합적인 이동 후, 두 도형 위의 점 사이 거리의 최댓값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] f(-y-3, x-1)=0이 어떤 이동인지 분석합니다. (y=x 대칭 → 원점 대칭 → 평행이동 등)
2. [2단계] 원래 도형(정사각형)의 꼭짓점들을 1단계의 규칙에 따라 이동시켜 새로운 도형의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 두 도형(두 정사각형) 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **두 도형의 모든 꼭짓점들 중에서 가장 멀리 떨어진 두 꼭짓점 사이의 거리**와 같습니다. 모든 경우를 비교하여 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
도형 사이 거리의 최댓값은 일반적으로 한 도형의 꼭짓점에서 다른 도형의 꼭짓점까지의 거리 중에서 가장 긴 것을 찾으면 됩니다.
”
복합 이동 후 두 도형 위 점 사이 거리의 최댓값
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평행이동한 직선이 다른 두 직선과 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 직선을 x축 방향으로 -3만큼 평행이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 (1) 두 직선 이상이 평행하거나 (2) 세 직선이 한 점에서 만나는 경우입니다.
3. (경우 1: 평행) 이동한 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
4. (경우 2: 한 점) 미지수가 없는 두 직선의 교점을 먼저 구하고, 그 교점을 이동한 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
5. 두 경우에서 나온 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형이 만들어지지 않는 두 가지 핵심 조건(평행, 한 점에서 만남)을 모두 빠짐없이 고려해야 합니다.
”
평행이동한 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 찾기
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두 직사각형이 평행이동 관계에 있을 때, 대응하는 꼭짓점의 좌표를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직사각형의 대응하는 꼭짓점 C(4,8)와 G(1,6)를 비교하여, 이 평행이동이 x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 이동했는지 평행이동 규칙을 찾습니다.
2. 꼭짓점 F는 꼭짓점 B에 대응하는 점입니다. 하지만 B의 좌표를 모르므로 다른 점을 이용합니다.
3. 꼭짓점 E는 꼭짓점 A(6,-3)에 대응하는 점이므로, 1단계에서 찾은 규칙을 적용해 E의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 DEFG는 직사각형이므로, 대각선 DF의 중점과 대각선 EG의 중점은 일치합니다. 이 성질을 이용해 F(a,b)의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
평행사변형(직사각형 포함)의 대각선은 서로를 이등분한다는 성질, 즉 ‘대각선의 중점이 일치한다’는 점을 활용하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동 규칙과 직사각형 대각선 중점 성질 활용
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두 원이 한 직선에 대하여 서로 대칭일 때, 그 대칭축 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원이 한 직선에 대해 대칭이므로, 두 원의 반지름은 같아야 합니다. (문제에서 반지름이 같음을 확인)
2. 대칭축인 직선은, 두 원의 중심을 잇는 선분의 수직이등분선입니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 619번 문제와 동일하게, 두 중심을 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 도형이 직선 대칭이라는 것은, 그 직선이 두 도형의 ‘대응점(원의 경우 중심)’을 잇는 선분의 수직이등분선이라는 기하학적 의미를 파악하는 것이 중요합니다.
”
최단 경로 직선의 대칭이동
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좌표 설정을 통해 실생활 최단 거리 문제를 해결하는 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 시냇가를 x축으로 설정하고, 한 지점 P를 원점으로 둡니다. 그러면 A(0,40), Q(90,0), B(90,80)으로 좌표를 설정할 수 있습니다.
2. 소가 시냇가의 한 지점 R을 거쳐 B로 가는 경로(AR+RB)의 최단 거리를 구해야 합니다.
3. 이는 한 점(A)을 대칭축(x축)에 대해 대칭이동한 점 A’을 구한 뒤, A’과 B를 잇는 직선 거리를 구하는 것과 같습니다.
4. 점 A'(0,-40)과 B(90,80) 사이의 거리를 계산하면 최단 거리가 나옵니다.
주의할 점:
실생활 문제를 적절한 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 과정이 가장 중요합니다. 어떤 것을 축으로 설정할지, 어떤 점을 원점으로 할지에 따라 계산의 편의성이 달라집니다.
”
이동 후 삼각형 넓이 최대와 원래 점
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한 직선을 다른 직선에 대하여 대칭이동시키는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 자취 이용)** 대칭이동시킬 직선 위의 임의의 점 P(a,b)를 대칭축 직선에 대해 대칭이동한 점을 Q(x,y)라 합니다. 중점 조건과 수직 조건을 이용해 a,b를 x,y로 표현하고, 이를 원래 직선에 대입하여 자취를 구합니다.
2. **(방법 2: 교점과 한 점 이용)** 원래 직선과 대칭축의 교점은 이동 후의 직선도 지납니다. 원래 직선 위의 다른 한 점을 잡아 대칭이동시킨 점을 구합니다. 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
직선의 직선 대칭은 계산이 복잡하므로, 교점을 먼저 찾고 다른 한 점만 대칭이동시켜 두 점을 잇는 방법(방법 2)이 일반적으로 더 효율적입니다.
”
두 개의 다른 직선을 거치는 최단 거리
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x축과 y축을 모두 거치는 경로의 최단 거리를 구하는 문제입니다. 626번과 동일한 원리입니다.
접근법:
1. 주어진 상황을 좌표평면 위에 설정합니다.
2. 시작점 S를 x축에 대해 대칭이동한 점 S’을 구합니다.
3. 시작점 S를 y축에 대해 대칭이동한 점 S”을 구합니다.
4. SA+AB+BS의 최솟값은 대칭점 S’과 S” 사이의 거리가 아닌, A’SB’ 와 같이 각 경로에 맞는 대칭점을 찾아야 합니다. (이 문제는 A, B가 고정점이 아니므로 다른 접근이 필요합니다.)
5. (해설 접근) 점 A를 x축 대칭, 점 S를 y축 대칭하여 세 점이 일직선이 되는 경우를 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점과 고정된 점이 무엇인지 명확히 구분하고, 경로에 맞게 적절한 대칭이동을 적용해야 합니다.
”
대칭이동을 이용한 최단 거리
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점을 직선에 대해 대칭이동시킨 후, 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 점 P(1,5)를 직선 x-3y+4=0에 대해 대칭이동한 점 Q의 좌표를 구합니다. (618번 참고: 중점 조건 + 수직 조건)
2. 이제 세 꼭짓점 O(0,0), P(1,5), Q(구한 좌표)의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 신발끈 공식을 이용하거나, 한 변을 밑변으로 하고 높이를 구해 삼각형 OPQ의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
점의 직선 대칭 이동 계산을 정확하게 하는 것이 첫 단계입니다. 연립방정식을 푸는 과정에서 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
대칭이동과 원과 점 사이 거리(응용)
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정사각형 내부에서 연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. 경로가 거쳐가는 변(BC, CD)에 대해 시작점(F)과 끝점(E)을 대칭이동합니다.
2. 점 F를 변 BC(x축)에 대해 대칭이동한 점 F’을 구합니다.
3. 점 E를 변 CD(y축)에 대해 대칭이동한 점 E’을 구합니다.
4. FP+PQ+QE의 최솟값은 대칭된 두 점 F’과 E’ 사이의 직선 거리와 같습니다.
5. 정사각형의 성질과 내분점, 중점의 정의를 이용해 E와 F의 좌표를 먼저 구한 뒤, 대칭점의 좌표를 찾아 거리를 계산합니다.
주의할 점:
정사각형을 좌표평면 위에 올려놓고 각 점의 좌표를 정확히 설정하는 것이 첫 단계입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 최단 거리
