“
대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 626, 627번과 유사합니다.
접근법:
1. 경로 AP+PR+RQ+QB를 직선으로 펴기 위해 대칭이동을 활용합니다.
2. 점 A를 점 P,Q가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B를 점 R이 움직이는 직선 y=1에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. 최단 거리는 대칭된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점이 3개이지만 경로가 순차적으로 연결되어 있으므로, 양 끝점을 각각 경로의 첫 번째와 마지막 직선(축)에 대해 대칭시키면 됩니다.
”
연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 구하기
“
원의 이동과 포물선의 이동, 그리고 접선 조건이 모두 포함된 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 원을 대칭이동, 평행이동한 최종 원이 x,y축에 동시에 접할 조건을 이용해 a,b값을 구합니다.
2. [2단계] 주어진 포물선을 a,b값만큼 평행이동하여 최종 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 2단계의 꼭짓점을 중심으로 하고 직선에 접하는 원의 반지름은, 중심과 직선 사이의 거리와 같습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 반지름을 구합니다.
주의할 점:
문제의 각 단계에서 요구하는 바를 정확히 파악하고, 이전 단계에서 구한 값을 다음 단계에 올바르게 적용해야 합니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선의 활용
“
대칭이동과 점과 원 사이의 거리를 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ, ㄴ)** 대칭이동의 기본 성질과 점과 원 사이의 거리 최솟값 공식을 확인합니다.
2. (ㄷ)** (BR+PR의 최솟값)은 점 B를 x축 대칭한 점 B’과 원 C₁ 위의 점 P 사이의 거리 최솟값입니다. (BS+QS’의 최솟값)도 마찬가지로 점 B’과 원 C₂ 위의 점 Q 사이의 거리 최솟값입니다.
3. 각 최솟값은 (두 중심 사이 거리) – (반지름) 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 등식에 이 식들을 대입하면, 점 B’이 두 원의 중심 O’₁, O’₂로부터 같은 거리에 있어야 함을 알 수 있습니다. 즉, B’은 **선분 O’₁O’₂의 수직이등분선** 위에 있어야 합니다.
5. 수직이등분선의 방정식을 구해 점 B’의 좌표를 대입하여 a값을 찾고, OB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 바를 정확히 해석하고, 대칭이동과 거리의 최소/최대 원리를 정확하게 적용해야 하는 고난도 문제입니다.
”
대칭이동과 원 사이의 최대/최소 거리 판별
“
평행이동한 원이 특정 점을 지나고, 넓이가 이등분될 조건을 연립하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 평행이동한 원의 방정식에 점 (2,-2)를 대입하여 a,b에 대한 관계식을 구합니다.
2. [2단계] 평행이동한 원의 넓이를 직선이 이등분하므로, 원의 중심이 직선 위에 있습니다. 이를 이용해 두 번째 관계식을 구합니다.
3. [3단계] 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 찾고, 이 평행이동 규칙을 점 (-1,7)에 적용합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 각각 식으로 정확히 옮기고, 연립방정식을 풀어 평행이동 규칙(a,b)을 확정하는 것이 핵심입니다.
”
연속 평행이동과 원과 직선의 교점
“
대칭이동을 통해 만들어진 두 삼각형의 넓이 비를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 A’BC와 ACB는 밑변 BC를 공유합니다.
3. 따라서 넓이의 비는 **높이의 비**와 같습니다. 높이는 각각 점 A’과 A에서 직선 BC까지의 거리입니다.
4. 점 C(0,k)이므로, 직선 BC의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 점 A’과 A에서 이 직선까지의 거리를 각각 구하고, 그 거리의 비가 2:1이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비를 높이의 비로, 높이를 점과 직선 사이의 거리로 변환하여 푸는 문제입니다. 계산 과정에서 절댓값 처리에 유의해야 합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 넓이 비 계산하기
“
포물선의 평행이동 규칙을 찾아 직선에 적용하고, 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 포물선의 꼭짓점을 각각 찾아, 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 이동량)을 구합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 규칙을 직선 l에 적용하여 평행이동한 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 두 평행한 직선 l과 l’ 사이의 거리를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
552번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계의 계산 과정을 명확하게 보여주어야 합니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값
“
직선 대칭 이동한 두 원 사이의 거리의 최대/최소를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 원 C₂는 원 C₁을 직선에 대해 대칭이동한 것입니다. 원 C₁의 중심을 직선에 대해 대칭이동시켜 원 C₂의 중심 좌표를 구합니다. (중점 조건 + 수직 조건)
2. [2단계] 두 원 C₁, C₂ 위의 점 사이의 거리의 최댓값 M = (두 중심 사이의 거리) + r₁ + r₂, 최솟값 m = (두 중심 사이의 거리) – r₁ – r₂ 입니다.
3. [3단계] M과 m을 곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 후에도 반지름은 변하지 않습니다. 두 원 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
접선과 평행선, 교점 좌표 구하기
“
포물선의 평행이동과 직선의 교점, 그리고 중점이 원점일 조건을 이용하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 점의 평행이동 규칙을 찾아, 포물선의 방정식을 평행이동시킵니다.
2. [2단계] 이동된 포물선과 직선 y=mx를 연립한 이차방정식의 두 근(α,β)이 교점의 x좌표입니다. 중점이 원점이므로, 두 근의 합 α+β=0 입니다.
3. [3단계] 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 합 = 0’ 이라는 식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
551번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계의 논리를 명확하게 서술해야 합니다.
”
대칭이동과 외접원의 반지름 관계
“
연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 문제에서, 최단 거리가 될 때의 두 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 점 A를 x축과 y=x에 대해 각각 대칭이동한 점 A₁, A₂를 구합니다.
2. [2단계] 최단 거리는 선분 A₁A₂의 길이입니다.
3. [3단계] 최단 경로가 되는 점 C와 B는, 직선 A₁A₂와 x축, 그리고 직선 y=x의 교점입니다. 직선 A₁A₂의 방정식을 구해 각 교점의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
최단 거리를 만드는 점들은 대칭점을 이은 직선과 원래 경로가 지나던 직선(또는 축)의 교점이라는 사실을 이용해야 합니다.
”
이동 후 기울기의 최대/최소 (공통접선)
“
대칭이동을 이용한 최단 거리를 찾고, 경로 위의 점 좌표를 구하는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1, 2단계] 점 A를 Q가 움직이는 y축에 대해 대칭이동, 점 B를 P가 움직이는 직선 x-y+2=0에 대해 대칭이동하여 A’, B’을 구합니다.
2. [3단계] 최솟값은 두 대칭점 A’과 B’ 사이의 직선 거리입니다.
3. [4단계] 최단 경로가 되는 점 Q는 직선 A’B’과 y축의 교점, 점 P는 직선 A’B’과 직선 x-y+2=0의 교점입니다. 직선 A’B’의 방정식을 구해 각 교점을 찾습니다.
주의할 점:
각 점을 어떤 축/직선에 대해 대칭해야 하는지 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 계산량이 많은 문제입니다.
”
대칭이동 최단거리와 경로 위 점 좌표 구하기
