“
수 체계(정수, 유리수, 실수)와 집합의 원소 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
각 보기의 수가 해당하는 수의 집합(Z: 정수, Q: 유리수, R: 실수)에 속하는지 판별합니다.
①, ②, ③ 주어진 수들을 간단히 정리했을 때 각각 실수, 정수, 실수에 포함되는지 확인합니다.
④ √-9는 3i로, 복소수이지만 실수는 아니므로 실수 집합 R에 속하지 않습니다.
⑤ 주어진 분수를 계산하면 최종적으로 1이 되므로 정수 집합 Z에 속합니다.
주의할 점:
무리수도 실수의 일부이며, 허수는 실수가 아님을 명확히 구분해야 합니다. 복소수 계산을 정확히 할 수 있어야 합니다.
”
수 체계와 집합의 포함 관계
“
벤 다이어그램을 보고 두 집합 A, B와 그 원소들의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 각 집합의 원소를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {2, 4, 6}
– B = {2, 3, 4, 5, 6}
2. 각 보기의 표현이 옳은지 확인합니다.
– 원소와 집합의 관계는 ∈, ∉ 기호를 사용합니다.
– 집합과 집합의 관계는 ⊂, ⊃ 기호를 사용합니다.
주의할 점:
{2, 4}와 같이 중괄호로 묶인 것은 ‘원소’가 아닌 ‘집합’입니다. 따라서 {2, 4} ⊂ A와 같이 부분집합 기호를 사용해야 올바른 표현입니다.
”
벤 다이어그램과 원소의 관계 파악하기
“
원소와 부분집합을 나타내는 기호 ∈ 와 ⊂ 를 명확하게 구분하는 문제입니다. 집합 자체를 원소로 가질 수 있음을 이해해야 합니다.
접근법:
집합 A = { ∅, {∅}, 0, {0,∅} } 입니다.
(∈ 관계) 쉼표(,)로 구분된 형태 그대로가 원소입니다. {∅}와 {0,∅}는 집합 A의 원소입니다.
(⊂ 관계) A의 원소들을 가져와 새로운 중괄호로 묶으면 부분집합이 됩니다. 예를 들어, 원소 {∅}를 가져와 { {∅} } 로 묶으면 A의 부분집합이 됩니다.
주의할 점:
{∅, {∅}} ⊂ A 가 되려면 ∅와 {∅}가 모두 A의 원소여야 합니다. 이 문제에서는 두 가지 모두 A의 원소이므로 ⊂ 관계가 성립합니다. ⑤번은 ∈ 기호를 사용했으므로 틀린 표현입니다.
”
원소와 부분집합 기호(∈, ⊂) 구분하기
“
집합의 표현 방법과 포함 관계에 대한 종합적인 이해를 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) 공집합 ∅는 원소가 없는 집합입니다. 0은 숫자 원소이므로, 0 ∈ ∅ 는 틀린 표현입니다.
(ㄴ) ’10보다 작은 소수’는 {2, 3, 5, 7} 입니다. 원소나열법으로 표현된 집합과 일치하지 않습니다.
(ㄷ) 집합 A의 원소 a, b, {a,b}를 모두 가져와 중괄호로 묶었으므로, {a, b, {a,b}}는 A의 부분집합이 맞습니다.
주의할 점:
공집합(∅)과 숫자 0을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 부분집합은 원래 집합의 원소들로만 구성되어야 합니다.
”
집합의 표현과 포함 관계의 이해
“
원의 이동과 포물선의 이동, 그리고 접선 조건이 모두 포함된 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 원을 대칭이동, 평행이동한 최종 원이 x,y축에 동시에 접할 조건을 이용해 a,b값을 구합니다.
2. [2단계] 주어진 포물선을 a,b값만큼 평행이동하여 최종 포물선의 꼭짓점 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 2단계의 꼭짓점을 중심으로 하고 직선에 접하는 원의 반지름은, 중심과 직선 사이의 거리와 같습니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 반지름을 구합니다.
주의할 점:
문제의 각 단계에서 요구하는 바를 정확히 파악하고, 이전 단계에서 구한 값을 다음 단계에 올바르게 적용해야 합니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선의 활용
“
대칭이동과 점과 원 사이의 거리를 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ, ㄴ)** 대칭이동의 기본 성질과 점과 원 사이의 거리 최솟값 공식을 확인합니다.
2. (ㄷ)** (BR+PR의 최솟값)은 점 B를 x축 대칭한 점 B’과 원 C₁ 위의 점 P 사이의 거리 최솟값입니다. (BS+QS’의 최솟값)도 마찬가지로 점 B’과 원 C₂ 위의 점 Q 사이의 거리 최솟값입니다.
3. 각 최솟값은 (두 중심 사이 거리) – (반지름) 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 등식에 이 식들을 대입하면, 점 B’이 두 원의 중심 O’₁, O’₂로부터 같은 거리에 있어야 함을 알 수 있습니다. 즉, B’은 **선분 O’₁O’₂의 수직이등분선** 위에 있어야 합니다.
5. 수직이등분선의 방정식을 구해 점 B’의 좌표를 대입하여 a값을 찾고, OB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 바를 정확히 해석하고, 대칭이동과 거리의 최소/최대 원리를 정확하게 적용해야 하는 고난도 문제입니다.
”
대칭이동과 원 사이의 최대/최소 거리 판별
“
평행이동한 원이 특정 점을 지나고, 넓이가 이등분될 조건을 연립하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 평행이동한 원의 방정식에 점 (2,-2)를 대입하여 a,b에 대한 관계식을 구합니다.
2. [2단계] 평행이동한 원의 넓이를 직선이 이등분하므로, 원의 중심이 직선 위에 있습니다. 이를 이용해 두 번째 관계식을 구합니다.
3. [3단계] 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 찾고, 이 평행이동 규칙을 점 (-1,7)에 적용합니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 각각 식으로 정확히 옮기고, 연립방정식을 풀어 평행이동 규칙(a,b)을 확정하는 것이 핵심입니다.
”
연속 평행이동과 원과 직선의 교점
“
대칭이동을 통해 만들어진 두 삼각형의 넓이 비를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 A’BC와 ACB는 밑변 BC를 공유합니다.
3. 따라서 넓이의 비는 **높이의 비**와 같습니다. 높이는 각각 점 A’과 A에서 직선 BC까지의 거리입니다.
4. 점 C(0,k)이므로, 직선 BC의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 점 A’과 A에서 이 직선까지의 거리를 각각 구하고, 그 거리의 비가 2:1이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비를 높이의 비로, 높이를 점과 직선 사이의 거리로 변환하여 푸는 문제입니다. 계산 과정에서 절댓값 처리에 유의해야 합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 넓이 비 계산하기
“
포물선의 평행이동 규칙을 찾아 직선에 적용하고, 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 포물선의 꼭짓점을 각각 찾아, 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 이동량)을 구합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 규칙을 직선 l에 적용하여 평행이동한 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 두 평행한 직선 l과 l’ 사이의 거리를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
552번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계의 계산 과정을 명확하게 보여주어야 합니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값
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직선 대칭 이동한 두 원 사이의 거리의 최대/최소를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 원 C₂는 원 C₁을 직선에 대해 대칭이동한 것입니다. 원 C₁의 중심을 직선에 대해 대칭이동시켜 원 C₂의 중심 좌표를 구합니다. (중점 조건 + 수직 조건)
2. [2단계] 두 원 C₁, C₂ 위의 점 사이의 거리의 최댓값 M = (두 중심 사이의 거리) + r₁ + r₂, 최솟값 m = (두 중심 사이의 거리) – r₁ – r₂ 입니다.
3. [3단계] M과 m을 곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 후에도 반지름은 변하지 않습니다. 두 원 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
접선과 평행선, 교점 좌표 구하기
