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다른 집합의 원소를 이용해 새로운 집합의 원소를 정의하고, 그 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 B 구하기) 집합 A의 원소 a=0, 1, 2를 각각 b=a²+1에 대입하여 집합 B의 원소를 모두 구합니다. B = {1, 2, 5}.
2. (집합 C 구하기) 집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y를 짝지어 더한 모든 결과를 나열하여 집합 C의 원소를 구합니다. 중복되는 원소는 한 번만 씁니다.
– (예: 0+1=1, 0+2=2, 1+1=2, …)
3. 집합 C의 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
새로운 집합의 원소를 구할 때, 가능한 모든 조합을 빠짐없이 고려해야 하며, 중복되는 결과는 집합에 한 번만 포함시켜야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 원소 구하기
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원 위의 점에서의 접선, 평행선, 그리고 교점을 이용하는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 기울기가 2이고 원에 접하는 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 교점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 직선 OA의 방정식을 구하고, 원과의 또 다른 교점 C의 좌표를 찾습니다.
4. 점 C를 지나고 x축과 평행한 직선(y=c)과 직선 l의 교점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 a+b 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 단계에서 요구하는 바(접선, 교점 등)를 정확하게 계산해야 합니다. 여러 개의 직선과 점이 등장하므로 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
접선, 평행선, 교점 좌표를 종합하여 계산하기
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대칭이동과 관련된 두 외접원의 반지름의 관계를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 점 A, B, C의 좌표를 a를 이용해 나타냅니다. (B는 A의 y=x 대칭, C는 B의 x축 대칭)
2. (외접원 C₁) 삼각형 ABC의 외심을 찾아 반지름 r₁을 구합니다. 세 점이 직각삼각형을 이루는지 확인하면 계산이 간단해질 수 있습니다.
3. (외접원 C₂) 삼각형 AOC의 외심을 찾아 반지름 r₂를 구합니다.
4. r₁ * r₂ = 18√2 라는 등식을 세워 a에 대한 방정식을 풀고, a²의 값을 구합니다.
주의할 점:
외접원의 반지름을 구하는 과정이 복잡합니다. 외심의 정의(세 꼭짓점까지 거리가 같다)를 이용하거나, 외심의 위치에 대한 기하학적 성질을 활용해야 합니다.
”
대칭이동과 두 외접원의 반지름 관계 추론하기
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대칭이동과 평행이동으로 변환된 두 점을 잇는 직선의 기울기의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 대칭이동한 점 P’이 그리는 자취(원 C₁)를 구합니다.
2. 점 Q를 평행이동한 점 Q’이 그리는 자취(원 C₂)를 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘원 C₁ 위의 점 P”과 ‘원 C₂ 위의 점 Q”을 잇는 직선 P’Q’의 기울기의 최대/최소’를 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 기울기가 최대/최소가 되는 경우는, 두 원의 공통 접선일 때입니다.
5. 두 원의 공통 접선의 기울기를 구하고, 주어진 최대/최소값과 비교하여 r과 k의 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이를 지나는 직선의 기울기 범위는 두 원의 공통 접선의 기울기 사이라는 기하학적 통찰이 필요한 최고난도 문제입니다.
”
이동 후 두 원의 공통접선 기울기 최대/최소
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두 직사각형이 평행이동 관계에 있을 때, 대응하는 꼭짓점의 좌표를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직사각형의 대응하는 꼭짓점 C(4,8)와 G(1,6)를 비교하여, 이 평행이동이 x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 이동했는지 평행이동 규칙을 찾습니다.
2. 꼭짓점 F는 꼭짓점 B에 대응하는 점입니다. 하지만 B의 좌표를 모르므로 다른 점을 이용합니다.
3. 꼭짓점 E는 꼭짓점 A(6,-3)에 대응하는 점이므로, 1단계에서 찾은 규칙을 적용해 E의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 DEFG는 직사각형이므로, 대각선 DF의 중점과 대각선 EG의 중점은 일치합니다. 이 성질을 이용해 F(a,b)의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
평행사변형(직사각형 포함)의 대각선은 서로를 이등분한다는 성질, 즉 ‘대각선의 중점이 일치한다’는 점을 활용하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동 규칙과 직사각형 대각선 중점 성질 활용
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평행이동 후 두 직선이 일치할 조건을 이용하여, 특정 식의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 직선을 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이동한 직선이 두 번째 직선과 일치하므로, 두 방정식의 상수항이 같아야 합니다. 이를 통해 a와 b 사이의 선형 관계식(직선)을 얻습니다.
3. 문제에서 요구하는 a²+(b-1)²의 최솟값은, 점 (0,1)과 2단계에서 구한 직선 위의 점 (a,b) 사이의 **거리의 제곱**을 의미합니다.
4. 따라서, 점 (0,1)과 직선 사이의 거리를 구해 제곱하면 그것이 바로 구하는 최솟값이 됩니다.
주의할 점:
a²+(b-1)² 이라는 식의 형태를 보고, 두 점 (a,b)와 (0,1) 사이의 거리 제곱임을 기하학적으로 해석하는 능력이 필요합니다.
”
두 직선 일치 조건으로 점과 직선 사이 거리 최솟값
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삼각형을 평행이동시킨 후, 그 삼각형에 내접하는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원래 삼각형 OAB가 직각삼각형임을 파악하고 내접원의 중심과 반지름을 구합니다. (삼각형 넓이 공식 S = 1/2 * r * (둘레) 이용)
2. 점 A가 A’으로 이동하는 것을 보고, 이 평행이동이 x축과 y축으로 각각 얼마만큼 이동했는지 평행이동 규칙을 찾습니다.
3. 내접원도 삼각형과 똑같이 평행이동합니다. 1단계에서 구한 원래 내접원의 중심을 2단계의 규칙에 따라 평행이동시켜, 새로운 내접원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 평행이동해도 반지름은 변하지 않습니다.
5. 새로운 중심과 반지름으로 원의 방정식을 구하고, 일반형으로 전개하여 계수를 비교합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동은 그 도형에 내접하는 원의 평행이동과 같다는 점을 이용해야 합니다. 내접원을 새로 구하는 것은 매우 복잡합니다.
”
평행이동한 삼각형의 내접원의 방정식 구하기
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종이를 접었을 때 두 점이 겹쳐지는 상황은 선대칭 이동을 의미합니다.
접근법:
1. 두 점 A와 B가 겹쳐졌으므로, 접는 선은 **선분 AB의 수직이등분선**입니다.
2. 선분 AB의 기울기와 중점을 이용해 접는 선(대칭축)의 방정식을 구합니다.
3. 점 C와 겹쳐지는 점 D는, 점 C를 이 접는 선에 대해 대칭이동한 점입니다.
4. 점의 직선 대칭 이동 방법(중점 조건 + 수직 조건)을 이용해 점 D의 좌표 (a,b)를 구합니다.
주의할 점:
‘종이를 접어 점이 겹친다’는 표현이 ‘선분의 수직이등분선을 대칭축으로 하는 선대칭’임을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
선대칭(종이접기)을 이용해 점의 좌표 구하기
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평행이동과 대칭이동을 거친 점이 만드는 삼각형의 넓이가 최대일 때, 원래 점의 위치를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 이동시킨 점 Q의 자취를 먼저 생각합니다. 점 P가 원 위를 움직이므로, 점 Q 또한 어떤 원 위를 움직입니다. P의 이동 규칙을 역으로 적용하여 Q가 움직이는 원의 방정식을 찾습니다.
2. 삼각형 ABQ의 넓이가 최대가 되려면, 고정된 밑변 AB로부터 점 Q까지의 **높이가 최대**여야 합니다.
3. 높이의 최댓값은 **(Q가 움직이는 원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (Q원의 반지름)** 입니다.
4. 이 최대 높이를 갖게 하는 점 Q의 위치를 찾고, 이동 규칙을 역으로 적용하여 원래 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
이동된 점 Q의 자취를 먼저 파악하고, 그 자취 위에서 넓이가 최대가 되는 지점을 찾은 뒤, 다시 원래 점 P로 되돌아오는 역추적 과정이 필요합니다.
”
이동 후 삼각형 넓이 최댓값과 원래 점 위치 추적
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기울어진 직선에 대한 대칭이동을 포함하는 최단 거리 문제입니다. 회전변환의 개념으로 접근하면 편리합니다.
접근법:
1. 정류소 A를 도로 l(x축)에 대해 대칭이동한 점 P를 구합니다.
2. 정류소 A를 도로 m(y=x)에 대해 대칭이동한 점 Q를 구합니다.
3. 구하려는 최단 거리는 두 대칭점 P와 Q 사이의 직선 거리입니다.
4. 두 점 P, Q의 좌표를 구해 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
직선 y=x에 대한 대칭점은 (x,y) → (y,x)로 쉽게 구할 수 있습니다. 두 번의 대칭이동을 통해 꺾인 경로를 직선으로 만드는 것이 핵심입니다.
”
대칭이동 후 삼각형 넓이 비
