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방정식의 해를 원소로 갖는 집합에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소는 주어진 삼차방정식의 실수 해입니다.
2. 2 ∈ A 라는 조건은, x=2가 이 방정식의 해라는 의미입니다. 따라서 방정식에 x=2를 대입하여 상수 a값을 먼저 구합니다.
3. a값을 다시 방정식에 대입하여 완전한 삼차방정식을 만듭니다.
4. 조립제법 등을 이용하여 삼차방정식의 모든 해를 구하면, 집합 A의 모든 원소를 알 수 있습니다.
5. 이를 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
특정 수가 집합의 원소라는 것은, 그 집합의 조건(이 문제에서는 방정식)을 만족시킨다는 의미입니다.
”
방정식의 해를 원소로 갖는 집합
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대칭이동으로 만들어진 두 삼각형의 공통부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 y=x에 대해 대칭이동한 점 C, D의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 OAB와 ODC의 각 변을 나타내는 직선의 방정식을 모두 구합니다.
3. 공통부분은 사각형입니다. 이 사각형의 꼭짓점은 원점 O와 두 삼각형의 변들이 만나는 교점들로 이루어집니다.
4. 필요한 교점들의 좌표를 연립방정식을 통해 구합니다.
5. 신발끈 공식을 이용하거나, 전체 삼각형에서 불필요한 부분의 넓이를 빼는 방식으로 공통부분의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
공통부분의 형태를 정확히 파악하고, 그 넓이를 구하기 위한 전략을 세우는 것이 중요합니다. 교점 계산이 여러 번 필요합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 공통부분 넓이 계산
“
벤 다이어그램으로 표현된 집합을 조건제시법으로 올바르게 표현한 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 벤 다이어그램에 있는 모든 원소를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {1, 2, 3, 6}.
2. 각 보기의 조건제시법이 나타내는 집합을 원소나열법으로 바꾸어 1단계의 집합과 일치하는지 확인합니다.
– ① 10 이하 2의 배수: {2, 4, 6, 8, 10}
– ④ 6의 양의 약수: {1, 2, 3, 6}
3. 두 집합이 일치하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
각 보기의 조건(‘소수’, ‘자연수’, ‘약수’, ‘배수’)을 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
”
벤 다이어그램을 조건제시법으로 표현하기
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원 위의 두 점 A, B가 y=x 대칭 관계에 있고, 특정 조건을 만족하는 다른 두 점 P, Q로 만들어진 사각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. AP=BP, AQ=BQ를 만족하는 점 P, Q는 **선분 AB의 수직이등분선** 위에 있습니다.
2. 두 점 A, B는 y=x 대칭이므로, 선분 AB의 수직이등분선은 y=-x+k 형태이며 원의 중심(0,0)을 지납니다. 즉, 수직이등분선은 직선 y=-x 입니다.
3. 점 P, Q는 원과 직선 y=-x의 교점입니다. 두 교점의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 APBQ의 넓이는 두 삼각형 APQ와 BPQ의 합이며, 이는 1/2 * PQ * (높이의 합) = 1/2 * PQ * AB 와 같습니다.
5. 이 넓이가 2√2 임을 이용해 선분 AB의 길이를 구하고, a,b의 관계식을 통해 ab값을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 조건으로부터 점 P,Q가 직선 y=-x 위에 있다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선을 이용한 넓이 계산
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조건제시법으로 표현된 집합의 원소가 될 수 없는 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소는 2ª × 3ᵇ (a, b는 자연수) 형태로 소인수분해되는 수입니다.
2. 즉, 집합 A의 원소는 소인수로 2와 3만을 가져야 하며, 각각의 지수는 1 이상이어야 합니다.
3. 각 보기의 수를 소인수분해하여, 이러한 형태를 만족하는지 확인합니다.
4. 15 = 3¹ × 5¹ 이므로, 소인수 5를 포함하기 때문에 집합 A의 원소가 될 수 없습니다.
주의할 점:
조건에서 a,b가 ‘자연수’라고 했으므로, 2와 3은 반드시 한 번 이상 곱해져야 합니다.
”
조건제시법으로 표현된 집합의 원소 찾기
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연속적인 평행이동을 거친 두 원이 특정 직선과 모두 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C를 x축으로 m만큼 평행이동한 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 다시 y축으로 n만큼 평행이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. (가) 조건: 원 C₁이 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₁의 중심과 l 사이의 거리) 4. (나) 조건: 원 C₂가 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₂의 중심과 l 사이의 거리) 5. 두 범위를 만족하는 자연수 m, n에 대하여 m+n의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 독립적인 ‘원과 직선이 두 점에서 만날 조건(d
”
평행이동한 두 원이 직선과 만날 조건 찾기
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원소나열법으로 주어진 집합을 조건제시법으로 표현할 때, 조건에 맞는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소나열법으로 주어진 집합 {6, 12, 18, 24, 30, 36}의 특징을 파악합니다. 이들은 ’36 이하의 6의 양의 배수’입니다.
2. 조건제시법은 ‘{x | x는 k보다 작은 6의 양의 배수}’ 입니다.
3. 이 집합이 36을 원소로 포함하려면, k는 36보다 커야 합니다.
4. 이 집합이 그 다음 6의 배수인 42를 포함하지 않으려면, k는 42보다 작거나 같아야 합니다.
5. 따라서 36
주의할 점:
부등식에서 등호가 포함되는지 여부를 정확히 판단해야 합니다. ‘k보다 작다’이므로 k=42일 때 42는 포함되지 않습니다.
”
원소나열법을 조건제시법으로 표현하기
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삼각형의 세 변 위를 움직이는 점들로 만들어진 내접 삼각형의 둘레의 최솟값을 구하는 문제입니다. 연속적인 대칭이동을 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 먼저 구해야 합니다. (문제에서 주어진 변의 길이를 이용해 좌표 설정)
2. 둘레 길이 DE+EF+FD의 최솟값은, 한 점(예: F)을 두 변(AB, BC)에 대해 각각 대칭이동한 두 점 F’, F”를 잇는 직선의 길이와 같습니다.
3. 이 최소 길이는 점 F의 위치에 따라 변합니다.
4. 최소 둘레 길이는 점 F가 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발일 때 최소가 됩니다. 이 기하학적 성질을 이용하거나, 점 F를 변수화하여 최솟값을 찾아야 합니다.
주의할 점:
일반적인 삼각형의 내접 삼각형 둘레 최솟값은 수족삼각형(pedal triangle)과 관련이 있으며, 매우 고난도의 기하학적 지식이 필요합니다. 이 문제는 좌표를 설정하여 대수적으로 푸는 것이 현실적입니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값 구하기 (대칭이동)
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다른 집합의 원소를 이용해 새로운 집합의 원소를 정의하고, 그 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 B 구하기) 집합 A의 원소 a=0, 1, 2를 각각 b=a²+1에 대입하여 집합 B의 원소를 모두 구합니다. B = {1, 2, 5}.
2. (집합 C 구하기) 집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y를 짝지어 더한 모든 결과를 나열하여 집합 C의 원소를 구합니다. 중복되는 원소는 한 번만 씁니다.
– (예: 0+1=1, 0+2=2, 1+1=2, …)
3. 집합 C의 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
새로운 집합의 원소를 구할 때, 가능한 모든 조합을 빠짐없이 고려해야 하며, 중복되는 결과는 집합에 한 번만 포함시켜야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 원소 구하기
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원 위의 점에서의 접선, 평행선, 그리고 교점을 이용하는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 기울기가 2이고 원에 접하는 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 교점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 직선 OA의 방정식을 구하고, 원과의 또 다른 교점 C의 좌표를 찾습니다.
4. 점 C를 지나고 x축과 평행한 직선(y=c)과 직선 l의 교점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 a+b 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 단계에서 요구하는 바(접선, 교점 등)를 정확하게 계산해야 합니다. 여러 개의 직선과 점이 등장하므로 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
접선, 평행선, 교점 좌표를 종합하여 계산하기
