“
원소의 개수(n(A))와 집합의 포함 관계(⊂) 사이의 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) n(∅)=0 이므로, n(A)=n(∅) 이면 n(A)=0 입니다. 원소의 개수가 0개인 집합은 공집합(∅) 뿐입니다.
(ㄴ) (반례) A={1}, B={1,2}이면 A⊂B 이고 n(A)(ㄷ) (반례) A={1,2}, B={3,4}이면 n(A)=n(B)이지만 A=B는 아닙니다.
주의할 점:
A⊂B는 n(A)≤n(B)를 의미하며, 등호가 성립할 수 있습니다. 두 집합의 원소 개수가 같다고 해서 두 집합이 같은 것은 아닙니다.
”
원소 개수와 집합 포함 관계의 이해
“
두 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 원소 개수가 특정 값을 갖도록 하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A의 원소 x와 B의 원소 y를 더한 모든 결과를 표를 이용해 나열합니다. 이 결과에는 미지수 a가 포함됩니다.
2. 만들어진 결과들을 오름차순으로 정리합니다. X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5}
3. 집합 X의 원소 개수가 10개가 되려면, a를 포함한 3개의 값 중 **두 개가 기존의 8개 원소와 중복**되고, **하나는 중복되지 않아야** 합니다.
4. a+1, a+3, a+5는 2씩 차이나는 연속된 홀수 또는 짝수입니다. 이 값들이 기존 원소들과 어떻게 겹칠 수 있는지 경우를 나누어 생각하고, 자연수 a의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 원소가 기존 원소와 중복될 가능성을 고려하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
”
새로운 집합의 원소 개수와 미지수
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 이차방정식의 해가 없는 집합(공집합)
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 조건 x²-2kx-3k+10=0을 만족하는 **실수 x가 존재하지 않아야** 합니다.
2. 이는 이차방정식 x²-2kx-3k+10=0이 허근을 가져야 함을 의미합니다.
3. 이차방정식이 허근을 가질 조건은 판별식 D 4. 판별식을 k에 대한 식으로 나타내고, D
집합이 공집합이라는 조건을 방정식의 해가 없다는(실근이 없다는) 조건으로 변환하는 것이 중요합니다.
“
이차부등식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 부등식 x²-2kx+2k+8 2. 이는 모든 실수 x에 대하여 부등식 **x²-2kx+2k+8 ≥ 0** 이 항상 성립해야 함을 의미합니다.
3. 아래로 볼록한 이차함수가 항상 0 이상이려면, x축에 접하거나(중근) x축 위에 떠 있어야(허근) 합니다.
4. 따라서 이차방정식 x²-2kx+2k+8=0의 판별식 D ≤ 0** 이어야 합니다.
5. 이 부등식을 풀어 k의 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
부등식의 해집합이 공집합이 될 조건은, 그 부등식을 반대로 바꾼(등호 포함) 식이 ‘모든 실수에 대해 성립’할 조건과 같습니다.
”
이차부등식의 해가 없는 집합(공집합)
“
대칭이동으로 만들어진 두 삼각형의 공통부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 y=x에 대해 대칭이동한 점 C, D의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 OAB와 ODC의 각 변을 나타내는 직선의 방정식을 모두 구합니다.
3. 공통부분은 사각형입니다. 이 사각형의 꼭짓점은 원점 O와 두 삼각형의 변들이 만나는 교점들로 이루어집니다.
4. 필요한 교점들의 좌표를 연립방정식을 통해 구합니다.
5. 신발끈 공식을 이용하거나, 전체 삼각형에서 불필요한 부분의 넓이를 빼는 방식으로 공통부분의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
공통부분의 형태를 정확히 파악하고, 그 넓이를 구하기 위한 전략을 세우는 것이 중요합니다. 교점 계산이 여러 번 필요합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 공통부분 넓이 계산
“
벤 다이어그램으로 표현된 집합을 조건제시법으로 올바르게 표현한 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 벤 다이어그램에 있는 모든 원소를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {1, 2, 3, 6}.
2. 각 보기의 조건제시법이 나타내는 집합을 원소나열법으로 바꾸어 1단계의 집합과 일치하는지 확인합니다.
– ① 10 이하 2의 배수: {2, 4, 6, 8, 10}
– ④ 6의 양의 약수: {1, 2, 3, 6}
3. 두 집합이 일치하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
각 보기의 조건(‘소수’, ‘자연수’, ‘약수’, ‘배수’)을 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
”
벤 다이어그램을 조건제시법으로 표현하기
“
원 위의 두 점 A, B가 y=x 대칭 관계에 있고, 특정 조건을 만족하는 다른 두 점 P, Q로 만들어진 사각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. AP=BP, AQ=BQ를 만족하는 점 P, Q는 **선분 AB의 수직이등분선** 위에 있습니다.
2. 두 점 A, B는 y=x 대칭이므로, 선분 AB의 수직이등분선은 y=-x+k 형태이며 원의 중심(0,0)을 지납니다. 즉, 수직이등분선은 직선 y=-x 입니다.
3. 점 P, Q는 원과 직선 y=-x의 교점입니다. 두 교점의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 APBQ의 넓이는 두 삼각형 APQ와 BPQ의 합이며, 이는 1/2 * PQ * (높이의 합) = 1/2 * PQ * AB 와 같습니다.
5. 이 넓이가 2√2 임을 이용해 선분 AB의 길이를 구하고, a,b의 관계식을 통해 ab값을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 조건으로부터 점 P,Q가 직선 y=-x 위에 있다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선을 이용한 넓이 계산
“
조건제시법으로 표현된 집합의 원소가 될 수 없는 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소는 2ª × 3ᵇ (a, b는 자연수) 형태로 소인수분해되는 수입니다.
2. 즉, 집합 A의 원소는 소인수로 2와 3만을 가져야 하며, 각각의 지수는 1 이상이어야 합니다.
3. 각 보기의 수를 소인수분해하여, 이러한 형태를 만족하는지 확인합니다.
4. 15 = 3¹ × 5¹ 이므로, 소인수 5를 포함하기 때문에 집합 A의 원소가 될 수 없습니다.
주의할 점:
조건에서 a,b가 ‘자연수’라고 했으므로, 2와 3은 반드시 한 번 이상 곱해져야 합니다.
”
조건제시법으로 표현된 집합의 원소 찾기
“
연속적인 평행이동을 거친 두 원이 특정 직선과 모두 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C를 x축으로 m만큼 평행이동한 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 다시 y축으로 n만큼 평행이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. (가) 조건: 원 C₁이 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₁의 중심과 l 사이의 거리) 4. (나) 조건: 원 C₂가 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₂의 중심과 l 사이의 거리) 5. 두 범위를 만족하는 자연수 m, n에 대하여 m+n의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 독립적인 ‘원과 직선이 두 점에서 만날 조건(d
”
평행이동한 두 원이 직선과 만날 조건 찾기
“
원소나열법으로 주어진 집합을 조건제시법으로 표현할 때, 조건에 맞는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소나열법으로 주어진 집합 {6, 12, 18, 24, 30, 36}의 특징을 파악합니다. 이들은 ’36 이하의 6의 양의 배수’입니다.
2. 조건제시법은 ‘{x | x는 k보다 작은 6의 양의 배수}’ 입니다.
3. 이 집합이 36을 원소로 포함하려면, k는 36보다 커야 합니다.
4. 이 집합이 그 다음 6의 배수인 42를 포함하지 않으려면, k는 42보다 작거나 같아야 합니다.
5. 따라서 36
주의할 점:
부등식에서 등호가 포함되는지 여부를 정확히 판단해야 합니다. ‘k보다 작다’이므로 k=42일 때 42는 포함되지 않습니다.
”
원소나열법을 조건제시법으로 표현하기
