“
벤 다이어그램으로 주어진 집합에 대해, A ⊂ X ⊂ B와 추가 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 2, 3, 4}
– B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, {1,2,3,4}를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 추가 조건으로, X는 5를 **원소로 갖지 않아야** 합니다.
4. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 {1,2,3,4}와 {5}를 제외한 나머지 원소 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)
주의할 점:
여러 조건이 붙을 때마다, 전체 집합에서 조건에 해당하는 원소들을 하나씩 제외하고 남은 원소들로 부분집합을 만든다고 생각하면 됩니다.
”
벤 다이어그램과 A⊂X⊂B, 추가 조건의 이해
“
방정식의 해로 정의된 집합을 이용해 새로운 집합을 만들고, 그 집합의 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 먼저 삼차방정식 x³-2x²-x+2=0을 인수분해하여 해를 구합니다. A = {-1, 1, 2}.
2. (집합 B 구하기) 집합 A의 원소 a, b를 더한 모든 결과를 나열하여 집합 B를 구합니다. B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}.
3. (부분집합 개수) 집합 B의 원소의 개수는 6개입니다.
4. 따라서 집합 B의 부분집합의 개수는 2⁶ 입니다.
주의할 점:
집합 B를 구할 때, a와 b가 같은 원소인 경우(-1)+(-1)=-2 등)와 다른 원소인 경우를 모두 고려해야 합니다.
”
새로운 집합의 부분집합 개수 구하기
“
A ⊂ X ⊂ B와 함께, X가 A나 B와는 같지 않다는 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수를 구합니다. (735번 참고)
2. 이 개수에는 X=A인 경우와 X=B인 경우가 모두 포함되어 있습니다.
3. 문제에서 X≠A, X≠B 라는 조건을 주었으므로, 1단계에서 구한 전체 개수에서 **2개**를 빼주면 됩니다.
주의할 점:
X=A와 X=B는 A⊂X⊂B를 만족하는 경우 중 하나이므로, 마지막에 제외해주어야 합니다.
”
A⊂X⊂B에서 진부분집합 X의 개수 구하기
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 각각 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (홀수 부분집합) 집합 A의 원소 중 홀수는 {1, 3, 5, 7, 9}로 5개입니다. 이 5개의 원소로만 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 **2⁵ – 1** 입니다.
2. (짝수 부분집합) 집합 A의 원소 중 짝수는 {2, 4, 6, 8}로 4개입니다. 이 4개의 원소로만 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 **2⁴ – 1** 입니다.
3. 각각의 값을 계산하여 a, b를 구하고 더합니다.
주의할 점:
‘공집합이 아닌 부분집합’을 묻고 있으므로, 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼주는 것을 잊지 말아야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수
“
두 집합의 포함 관계와 진부분집합의 개수를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {k이하의 자연수} → n(A)=k
– B = {1, 2, 4, 8}
2. B⊂X⊂A를 만족하는 집합 X의 개수는 2^(n(A) – n(B)) = 2^(k-4) 입니다.
3. 문제에서 X≠A라는 조건이 추가되었습니다. 이는 ‘진부분집합’을 의미하는 것이 아니라, 단순히 X=A인 경우 하나만 제외하라는 의미입니다.
4. 따라서, 조건을 만족하는 X의 개수는 (2^(k-4)) – 1 입니다.
5. 이 개수가 63이라고 했으므로, (2^(k-4)) – 1 = 63 이라는 방정식을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 ‘X≠A’라는 표현이 진부분집합 전체를 의미하는 것이 아니라, 여러 X 중 A와 같은 경우 하나만 제외하라는 뜻임을 정확히 해석해야 합니다.
”
B⊂X⊂A이고 X≠A인 집합 X의 개수 찾기
“
한 집합의 부분집합 개수를 통해 원소 개수를 찾고, 이를 이용해 다른 집합의 진부분집합 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 부분집합의 개수가 16개이므로, 2ⁿ⁽ᴬ⁾ = 16 입니다. 따라서 **n(A)=4** 입니다.
2. n(A)+n(B)=10 이라는 식에 n(A)=4를 대입하여 **n(B)=6** 임을 구합니다.
3. 집합 B의 원소의 개수가 6개이므로, 진부분집합의 개수는 **2⁶ – 1** 입니다.
주의할 점:
원소의 개수, 부분집합의 개수, 진부분집합의 개수 사이의 관계(n, 2ⁿ, 2ⁿ-1)를 정확히 알고 있어야 합니다.
”
부분집합 개수로 다른 집합 정보 추론
“
복잡한 방정식의 해를 원소로 하는 집합 사이의 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 주어진 방정식을 풀기 위해 x²-5x를 X로 치환합니다. X에 대한 이차방정식을 풀어 X값을 찾고, 다시 x²-5x=X를 풀어 집합 A의 원소를 모두 구합니다.
2. (집합 B 구하기) B는 36의 양의 약수 집합입니다.
3. (집합 X 개수 구하기) A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X는, B의 부분집합 중 A의 모든 원소를 반드시 포함하는 집합입니다. 부분집합 개수 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
치환을 이용한 고차방정식 풀이를 정확하게 할 수 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
치환을 이용한 방정식의 해와 부분집합 관계
“
여러 조건을 만족하는 부분집합의 원소의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 63개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 63 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **p=6**개 입니다.
2. (나) 조건: 집합 B의 원소 중 가장 작은 원소는 19입니다.
3. (원소 합의 최솟값) 집합 B는 100보다 작은 홀수들의 부분집합입니다. 원소의 합 q가 최소가 되려면, 가장 작은 원소 19를 포함하여 **연속된 6개의 홀수**로 구성되어야 합니다.
4. 따라서 최소 합을 갖는 집합 B는 {19, 21, 23, 25, 27, 29} 이며, 이 원소들의 합 q를 구합니다.
주의할 점:
원소의 합이 최소가 되려면 가능한 한 작은 수들로 집합을 구성해야 한다는 점을 이용해야 합니다.
”
원소의 합이 최소가 되는 부분집합
“
A ⊂ X ⊂ B와 함께 원소의 개수에 대한 추가 조건이 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 3}
– B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. 집합 X는 {1,3}을 반드시 포함하고, {2,4,6,12}의 원소들을 추가로 가질 수 있습니다.
3. (나) 조건: n(X)≥4 이므로, X는 {2,4,6,12}의 원소 중 **적어도 2개**를 더 가져와야 합니다. (기본 원소 2개 + 추가 원소 2개 이상)
4. {2,4,6,12}의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2개 이상인 것의 개수를 셉니다. (전체 부분집합 개수 – 공집합 개수 – 원소 1개인 부분집합 개수)
주의할 점:
원소 개수에 대한 조건은 조합(Combination)을 이용하여 경우를 나누어 풀 수도 있습니다.
”
원소 개수 조건이 추가된 A⊂X⊂B 찾기
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특정한 원소를 반드시 포함하고, 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {3, 4, 5, 6, 7}.
2. 부분집합이 3, 4를 ‘반드시 원소로 갖고’, 5를 ‘원소로 갖지 않아야’ 합니다.
3. 이는 3, 4, 5를 제외한 나머지 원소들, 즉 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {6, 7}의 원소 개수는 2개이므로, 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2² 입니다.
주의할 점:
특정 원소의 포함/불포함 조건이 있는 부분집합의 개수를 셀 때는, 전체 원소 개수에서 조건이 붙은 원소의 개수만큼을 빼서 지수에 넣으면 됩니다. (n(A) – (포함 원소 개수) – (불포함 원소 개수))
”
특정 원소 포함/불포함 부분집합 개수
