“
부분집합의 최소 원소와 최대 원소가 정해진 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (최소 원소 조건) 집합 X의 원소 중 가장 작은 값이 3이므로, X는 3을 **반드시 포함**하고, 3보다 작은 원소인 0, 1, 2는 **포함하지 않아야** 합니다.
2. (최대 원소 조건) 집합 X의 원소 중 가장 큰 값이 7이므로, X는 7을 **반드시 포함**하고, 7보다 큰 원소인 8은 **포함하지 않아야** 합니다.
3. 결국, 집합 X는 전체집합 U={0, …, 8}의 부분집합 중에서, {0,1,2,8}은 제외하고 {3,7}은 반드시 포함하는 부분집합입니다.
4. 나머지 원소 {4, 5, 6}으로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2³)
주의할 점:
최소/최대 원소 조건은 특정 원소의 포함/불포함 조건을 동시에 알려주는 것입니다.
”
최소/최대 원소가 정해진 부분집합
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다. 조합(Combination)의 개념을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
2. A의 부분집합이 **’두 개의 홀수’를 원소로** 가져야 합니다.
3. A의 원소 중 홀수는 {3, 5, 7}로 3개, 짝수는 {2, 4, 6}으로 3개입니다.
4. (홀수 선택) 3개의 홀수 중 2개를 반드시 포함해야 합니다. (₃C₂ = 3가지 경우)
5. (짝수 선택) 나머지 짝수 3개는 포함해도 되고 안해도 됩니다. 따라서 짝수로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2³ = 8개 입니다.
6. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 (홀수 선택 경우의 수) × (짝수 선택 경우의 수) = 3 × 8 = 24 입니다.
주의할 점:
원소의 성질(홀수, 짝수)에 따라 그룹을 나누고, 각 그룹에서 조건을 만족하는 경우의 수를 구해 곱하는 방식으로 해결합니다.
”
두 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합
“
원소의 곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용하는 것이 편리합니다.
접근법:
1. 전체 경우: 6을 포함하지 않는 U의 부분집합 중 공집합이 아닌 것의 개수를 구합니다.
2. **(여사건)** ‘곱이 6의 배수’의 반대는 ‘곱이 6의 배수가 아닌 경우’ 입니다. 6은 포함하지 않으므로, 이는 **(2의 배수를 포함하지 않음) 또는 (3의 배수를 포함하지 않음)**을 의미합니다.
3. 6을 제외한 원소는 {1,2,3,4,5,7,8,9} 입니다. 이 중 2의 배수는 {2,4,8}, 3의 배수는 {3,9} 입니다.
4. (전체) – (2의 배수가 없는 경우) – (3의 배수가 없는 경우) + (2와 3의 배수 모두 없는 경우)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 ~이다’ 또는 ‘~의 배수이다’와 같은 조건은 여사건을 활용하면 계산이 더 간단해지는 경우가 많습니다.
”
곱이 6의 배수가 되는 부분집합
“
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
원소의 합이 홀수가 되려면, 부분집합에 포함된 **홀수의 개수가 홀수 개**여야 합니다.
1. 집합 A의 홀수는 {1, 3, 5, 7} (4개), 짝수는 {2, 4, 6} (3개) 입니다.
2. (경우 1: 홀수 1개 포함) 4개의 홀수 중 1개를 선택하고(₄C₁), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₁ × 2³)
3. (경우 2: 홀수 3개 포함) 4개의 홀수 중 3개를 선택하고(₄C₃), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₃ × 2³)
4. 두 경우의 수를 더하고, n(X)≥2 조건을 만족하지 않는 경우({1},{3},{5},{7}) 4개를 제외합니다.
주의할 점:
짝수는 합에 아무리 더해도 홀/짝 여부에 영향을 주지 않습니다. 합의 홀/짝은 오직 홀수의 개수에 의해서만 결정됩니다.
”
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수 구하기
“
두 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다. 원소에 미지수가 포함되어 있어 경우를 나누어 생각해야 합니다.
접근법:
1. A=B가 되려면, A의 원소와 B의 원소가 일치해야 합니다.
2. B의 원소 3은 A에도 반드시 있어야 합니다. 따라서 a+1=3 또는 a-2=3 이라는 두 가지 가능성이 생깁니다.
3. (경우 1) a+1=3 (즉, a=2)일 때: a=2를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
4. (경우 2) a-2=3 (즉, a=5)일 때: a=5를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
5. 두 집합이 일치하게 만드는 a값을 찾고, 그때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
가능한 경우를 나눈 뒤, 각 경우에 대해 조건을 만족하는지 반드시 검산하는 과정이 필요합니다.
”
두 집합이 같을 때 원소의 합 구하기
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. 0 2. 이제 집합 A={2, 3, 5, 7}의 부분집합 중에서, n(X)=2, 즉 **원소의 개수가 2개**인 부분집합을 모두 찾으면 됩니다.
3. 4개의 원소 중에서 2개를 뽑는 조합의 수와 같습니다. (₄C₂)
4. 경우의 수를 계산하거나, 직접 {2,3}, {2,5}, {2,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7} 과 같이 나열하여 개수를 셉니다.
주의할 점:
부분집합의 개수를 묻는 문제에서 원소의 개수에 대한 조건이 주어지면, 조합(Combination)의 개념을 활용하면 편리합니다.
”
원소 개수가 정해진 부분집합의 개수
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701번 문제와 동일하게, 두 집합이 같을 조건을 이용하여 미지수를 찾고, 원소의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B이므로, A의 원소 3은 B에도 있어야 합니다.
2. B의 원소 중 3이 될 수 있는 것은 a²-2a 입니다. (나머지 원소는 -2, 4로 고정)
3. a²-2a = 3 이라는 이차방정식을 풀어 가능한 a값을 모두 구합니다.
4. 각 a값에 대해, 두 집합 A와 B가 실제로 일치하는지 확인합니다.
5. 조건을 만족하는 a일 때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차방정식의 해가 여러 개 나올 수 있으므로, 모든 해에 대해 검산 과정을 거쳐야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 미지수 a값
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진부분집합의 모든 원소의 합(S(X))의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
2. 집합 X는 A의 진부분집합입니다.
3. 원소의 합 S(X)가 최대가 되려면, X는 가능한 한 많은 원소를 가져야 하며, 그 원소들의 값이 커야 합니다.
4. 합이 가장 큰 부분집합은 A 자기 자신입니다. 하지만 X는 진부분집합이므로 자기 자신은 될 수 없습니다.
5. 따라서, 합이 최대가 되는 진부분집합은 A에서 **가장 작은 원소 하나를 제외한** 부분집합입니다.
6. A의 모든 원소의 합에서 가장 작은 원소인 2를 뺀 값이 S(X)의 최댓값이 됩니다.
주의할 점:
진부분집합의 의미를 정확히 파악하고, 합이 최대가 되기 위한 조건을 논리적으로 추론해야 합니다.
”
진부분집합 원소의 합의 최댓값
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이차방정식의 해를 원소로 하는 집합과 다른 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B 이므로, 집합 B의 원소 1은 집합 A의 원소여야 합니다.
2. 즉, x=1은 이차방정식 x²+3x-a=0의 해입니다. x=1을 대입하여 a값을 구합니다.
3. a값을 다시 이차방정식에 대입하여 나머지 해를 구합니다. 이 나머지 해가 바로 b가 됩니다.
4. a와 b값을 모두 구한 뒤, a-b를 계산합니다.
주의할 점:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀 수도 있습니다. (두 근의 합 = 1+b = -3)
”
이차방정식의 해와 집합이 같을 조건
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부분집합의 개수를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. |x-2|2. 집합 A의 원소의 개수는 5개입니다.
3. 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 **2ⁿ** 개입니다.
4. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2⁵ 입니다.
주의할 점:
주어진 조건(부등식, x는 정수)을 정확히 해석하여 집합의 원소 개수를 올바르게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
부분집합의 개수(2ⁿ) 구하기
