“
원소의 개수가 3개이고 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용합니다.
접근법:
1. (전체 경우) 먼저 집합 A의 원소 8개 중에서 3개를 뽑는 모든 경우의 수를 구합니다. (₈C₃)
2. (여사건) ‘적어도 한 개의 짝수’의 반대는 ‘모든 원소가 홀수’인 경우입니다.
3. 집합 A의 홀수 원소 {1, 3, 5, 7} 4개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₃)
4. (전체 경우의 수) – (여사건의 경우의 수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
원소의 개수가 특정 값으로 고정된 부분집합의 개수는 조합(Combination)을 이용하여 계산합니다. ‘적어도’라는 표현은 여사건 풀이법을 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
적어도 한 개의 짝수를 갖는 부분집합의 개수
“
원소의 개수와 특정 원소의 포함 조건이 결합된 부분집합의 개수를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (전체 경우) 집합 A(원소 10개)의 부분집합 중 원소의 개수가 5개인 것의 개수를 구합니다. (₁₀C₅)
2. (여사건) ‘6의 약수를 적어도 2개 이상 포함’의 반대는 ‘(1) 6의 약수를 하나도 포함하지 않거나’, ‘(2) 6의 약수를 1개만 포함하는’ 경우입니다.
3. 6의 약수는 {1, 2, 3, 6} (4개), 그 외 원소는 6개입니다.
4. (여사건 1) 6의 약수 4개를 제외한 나머지 6개 원소 중에서 5개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₆C₅)
5. (여사건 2) 6의 약수 4개 중 1개를 뽑고, 나머지 6개 원소 중에서 4개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₁ × ₆C₄)
6. (전체 경우) – (여사건 1 + 여사건 2)를 계산합니다.
주의할 점:
여러 조건을 만족하는 경우의 수를 셀 때는 조합과 여사건의 원리를 적절히 활용해야 합니다.
”
원소 개수와 약수 포함 조건의 부분집합 찾기
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진부분집합의 개수와, 원소들 사이에 특별한 규칙 (x ∈ B 이면 10-x ∈ B)이 있는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 7개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 7 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **3개**입니다.
2. (나) 조건: 이 규칙은 원소들이 쌍으로 존재해야 함을 의미합니다. (1이 있으면 9도 있어야 하고, 2가 있으면 8도 있어야 함. 단, 5는 10-5=5이므로 혼자 존재 가능)
3. 원소 개수가 3개이면서 이 규칙을 만족하려면, 반드시 **{5}**를 포함하고, **서로 짝이 되는 두 원소 {a, 10-a}**를 포함해야 합니다.
4. 따라서 집합 B는 {5, a, 10-a} 형태입니다. 모든 원소의 합은 항상 15가 됩니다.
주의할 점:
x와 10-x가 짝을 이룬다는 규칙을 파악하고, 원소의 개수 조건(홀수 개)을 만족하려면 자기 자신과 짝이 되는 원소(5)가 반드시 포함되어야 함을 추론하는 것이 핵심입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합 찾기
“
753번 문제와 유사하게, 원소 사이에 특별한 규칙 (x ∈ A 이면 8-x ∈ A)을 만족하는 집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 1 ≤ x ≤ 7 입니다.
2. 규칙에 따라 원소들은 {1,7}, {2,6}, {3,5} 와 같이 쌍으로 존재하거나, {4} 처럼 혼자 존재할 수 있습니다.
3. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 이 짝지어진 묶음들({1,7}, {2,6}, {3,5}, {4})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
4. 묶음의 개수가 4개이므로, 이들로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
5. 문제에서 공집합이 아닌 집합 A를 구하라고 했으므로, 공집합 1개를 제외한 2⁴-1 개가 답이 됩니다.
주의할 점:
개별 원소가 아닌 ‘원소 쌍’ 또는 ‘묶음’을 하나의 단위로 보고 부분집합의 개수를 세는 것이 이 유형의 핵심 아이디어입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합의 개수
“
한 집합의 부분집합 개수를 통해 원소 개수를 찾고, 이를 이용해 다른 집합의 진부분집합 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 부분집합의 개수가 16개이므로, 2ⁿ⁽ᴬ⁾ = 16 입니다. 따라서 **n(A)=4** 입니다.
2. n(A)+n(B)=10 이라는 식에 n(A)=4를 대입하여 **n(B)=6** 임을 구합니다.
3. 집합 B의 원소의 개수가 6개이므로, 진부분집합의 개수는 **2⁶ – 1** 입니다.
주의할 점:
원소의 개수, 부분집합의 개수, 진부분집합의 개수 사이의 관계(n, 2ⁿ, 2ⁿ-1)를 정확히 알고 있어야 합니다.
”
부분집합 개수로 다른 집합 정보 추론
“
복잡한 방정식의 해를 원소로 하는 집합 사이의 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 주어진 방정식을 풀기 위해 x²-5x를 X로 치환합니다. X에 대한 이차방정식을 풀어 X값을 찾고, 다시 x²-5x=X를 풀어 집합 A의 원소를 모두 구합니다.
2. (집합 B 구하기) B는 36의 양의 약수 집합입니다.
3. (집합 X 개수 구하기) A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X는, B의 부분집합 중 A의 모든 원소를 반드시 포함하는 집합입니다. 부분집합 개수 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
치환을 이용한 고차방정식 풀이를 정확하게 할 수 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
치환을 이용한 방정식의 해와 부분집합 관계
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여러 조건을 만족하는 부분집합의 원소의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 63개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 63 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **p=6**개 입니다.
2. (나) 조건: 집합 B의 원소 중 가장 작은 원소는 19입니다.
3. (원소 합의 최솟값) 집합 B는 100보다 작은 홀수들의 부분집합입니다. 원소의 합 q가 최소가 되려면, 가장 작은 원소 19를 포함하여 **연속된 6개의 홀수**로 구성되어야 합니다.
4. 따라서 최소 합을 갖는 집합 B는 {19, 21, 23, 25, 27, 29} 이며, 이 원소들의 합 q를 구합니다.
주의할 점:
원소의 합이 최소가 되려면 가능한 한 작은 수들로 집합을 구성해야 한다는 점을 이용해야 합니다.
”
원소의 합이 최소가 되는 부분집합
“
A ⊂ X ⊂ B와 함께 원소의 개수에 대한 추가 조건이 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 3}
– B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. 집합 X는 {1,3}을 반드시 포함하고, {2,4,6,12}의 원소들을 추가로 가질 수 있습니다.
3. (나) 조건: n(X)≥4 이므로, X는 {2,4,6,12}의 원소 중 **적어도 2개**를 더 가져와야 합니다. (기본 원소 2개 + 추가 원소 2개 이상)
4. {2,4,6,12}의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2개 이상인 것의 개수를 셉니다. (전체 부분집합 개수 – 공집합 개수 – 원소 1개인 부분집합 개수)
주의할 점:
원소 개수에 대한 조건은 조합(Combination)을 이용하여 경우를 나누어 풀 수도 있습니다.
”
원소 개수 조건이 추가된 A⊂X⊂B 찾기
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특정한 원소를 반드시 포함하고, 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {3, 4, 5, 6, 7}.
2. 부분집합이 3, 4를 ‘반드시 원소로 갖고’, 5를 ‘원소로 갖지 않아야’ 합니다.
3. 이는 3, 4, 5를 제외한 나머지 원소들, 즉 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {6, 7}의 원소 개수는 2개이므로, 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2² 입니다.
주의할 점:
특정 원소의 포함/불포함 조건이 있는 부분집합의 개수를 셀 때는, 전체 원소 개수에서 조건이 붙은 원소의 개수만큼을 빼서 지수에 넣으면 됩니다. (n(A) – (포함 원소 개수) – (불포함 원소 개수))
”
특정 원소 포함/불포함 부분집합 개수
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특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수가 주어졌을 때, 원래 집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 k 이하의 자연수이므로, n(A)=k 입니다.
2. 부분집합이 2를 ‘반드시 포함’하고, 3, 5를 ‘포함하지 않아야’ 합니다.
3. 이 부분집합의 개수는 2^(k – 1 – 2) = 2^(k-3) 입니다.
4. 문제에서 이 개수가 64라고 주어졌으므로, 2^(k-3) = 64 = 2⁶ 이라는 등식을 세웁니다.
5. 지수를 비교하여 k-3 = 6 을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
725번 문제의 역산 과정입니다. 부분집합 개수 공식을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
특정 조건의 부분집합 개수와 미지수
