“
특별한 규칙과 특정 원소 포함 조건을 동시에 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 18의 양의 약수입니다.
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다. {1,18}, {2,9}, {3,6}
3. (나) 조건: 집합 X는 2를 반드시 원소로 가져야 합니다.
4. (가) 조건: x=2가 X의 원소이므로, 18/2 = 9도 반드시 X의 원소가 되어야 합니다. 즉, **{2,9} 묶음은 반드시 포함**되어야 합니다.
5. 결국, 구하는 집합 X의 개수는 {2,9} 묶음을 반드시 포함하면서, 나머지 2개의 묶음({1,18}, {3,6})으로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)
주의할 점:
특정 원소를 포함하라는 조건이 주어지면, 그 원소와 짝이 되는 다른 원소도 규칙에 따라 반드시 포함되어야 함을 잊지 말아야 합니다.
”
특정 원소를 포함하는 특별한 규칙의 집합
“
적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 742번과 동일한 여사건 문제입니다.
접근법:
1. 여사건은 ‘부분집합의 모든 원소가 짝수’인 경우입니다.
2. (전체 경우) 집합 A를 원소나열법으로 나타내고, 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 집합 A의 짝수 원소들로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
여사건을 생각할 때, 어떤 원소들을 기준으로 부분집합을 만들어야 하는지 정확히 파악해야 합니다.
”
적어도 한 개의 홀수를 갖는 부분집합의 개수
“
제곱수의 일의 자리 수에 대한 규칙을 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 1부터 9까지의 자연수에 대해, m과 m²의 일의 자릿수가 같은 m이 아닌 n이 존재하는지 확인하여 원소 쌍을 찾습니다.
– m=2 (2²=4), n=8 (8²=64) → {2,8}은 쌍으로 존재
– m=3 (3²=9), n=7 (7²=49) → {3,7}은 쌍으로 존재
– {1,9}, {4,6}도 같은 규칙으로 쌍을 이룹니다.
– 5는 자기 자신과 짝이므로 규칙에 맞지 않습니다.
2. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 4개의 묶음({1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
3. 4개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
4. 문제에서 공집합이 아닌 집합을 구하라고 했으므로 1개를 제외합니다.
주의할 점:
문제의 규칙을 만족하는 원소 쌍을 정확하게 찾는 것이 첫 단계입니다. 규칙에 맞지 않는 원소(5)는 집합 A에 포함될 수 없습니다.
”
제곱수의 일의 자리 수 규칙을 갖는 집합 찾기
“
A 또는 B를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건 또는 포함-배제 원리를 이용합니다.
접근법:
1. (여사건 풀이) ‘2 또는 5를 원소로 갖는다’의 반대는 ‘2와 5를 모두 원소로 갖지 않는다’ 입니다.
2. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 2와 5를 모두 제외한 나머지 원소들로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 처럼, (2를 포함하는 개수) + (5를 포함하는 개수) – (2와 5를 모두 포함하는 개수)로도 계산할 수 있습니다.
”
2 또는 5를 원소로 갖는 부분집합의 개수
“
집합의 모든 부분집합에 대해, 각 부분집합의 원소의 합을 구하고, 그 합들을 다시 모두 더하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 생각하는 것이 효율적입니다.
2. 집합 S의 특정 원소(예: 1)가 부분집합의 원소로 포함되는 경우는, **1을 반드시 포함하는 부분집합**의 개수와 같습니다.
3. 집합 S의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8개의 부분집합에 포함됩니다.
5. 따라서 모든 원소의 총합은 (1×8) + (2×8) + (4×8) + (8×8) = 8 × (1+2+4+8) 입니다.
주의할 점:
각 원소를 기준으로 그 원소가 몇 번 나타나는지를 세어서 계산하는 것이 이 유형의 핵심 풀이법입니다.
”
모든 부분집합의 원소의 총합 구하기
“
적어도 하나의 특정 원소를 포함하는 진부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘홀수 또는 소수’를 적어도 하나 포함해야 합니다. 이 조건의 여사건은 ‘홀수도 아니고 소수도 아닌’ 원소들로만 이루어진 부분집합입니다.
2. 집합 A에서 홀수와 소수를 모두 제외한 원소를 찾습니다. {4, 6}
3. (전체 진부분집합 개수) 2⁷ – 1 = 127 개.
4. (여사건의 경우) {4, 6}으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2²=4개 입니다. 이들은 모두 진부분집합입니다.
5. (전체 진부분집합 개수) – (여사건의 개수)를 계산합니다.
주의할 점:
진부분집합 조건이 있으므로, 전체 경우의 수를 계산할 때 미리 1을 빼고 시작하는 것이 편리합니다.
”
적어도 하나의 특정 원소를 갖는 진부분집합
“
부분집합의 가장 큰 원소에 대한 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. M(X)≥6 이라는 것은, 집합 X의 가장 큰 원소가 6 또는 7 또는 8 이라는 의미입니다.
2. 이는 집합 X가 **6, 7, 8 중 적어도 하나의 원소를 포함**해야 함을 의미합니다.
3. 이 조건의 여사건은 ‘6, 7, 8을 모두 포함하지 않는’ 경우입니다.
4. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다. (2⁸)
5. (여사건의 경우) {6,7,8}을 제외한 나머지 원소 {1,2,3,4,5}로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다. (2⁵)
6. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산합니다.
주의할 점:
주어진 조건을 ‘적어도 하나를 포함’하는 조건으로 재해석하고, 여사건을 활용하는 것이 효율적입니다.
”
가장 큰 원소에 대한 조건을 만족하는 집합 찾기
“
두 집합의 교집합과 포함 관계를 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
2. (X ⊂ A 조건) X는 A={2,3,5,7}의 부분집합입니다.
3. (X ∩ B = ∅ 조건) X는 B={1,2,3,6}의 원소를 가지면 안됩니다. A와 B의 공통 원소는 {2,3}이므로, X는 **2와 3을 포함해서는 안됩니다.**
4. 결국, 집합 X는 A의 부분집합 중에서 2와 3을 원소로 갖지 않는 부분집합입니다.
5. 따라서 A의 원소 {5, 7}로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구하면 됩니다.
주의할 점:
X∩B=∅ 라는 조건을 ‘X는 B의 원소를 포함하지 않는다’로 해석해야 합니다. 특히 A와 B에 공통으로 있는 원소들을 X가 가지면 안된다는 점이 중요합니다.
”
교집합과 포함 관계를 만족하는 집합의 개수
“
홀수인 원소가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건을 이용합니다.
접근법:
1. 여사건은 ‘홀수 원소를 하나도 포함하지 않는’, 즉 ‘모든 원소가 짝수’인 부분집합입니다.
2. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 집합 A의 짝수 원소 {2, 4}로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 하나’ 또는 ‘~이상’ 이라는 표현은 여사건을 활용하라는 강력한 힌트입니다.
”
홀수 원소가 한 개 이상인 부분집합의 개수
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홀수 3개와 짝수 2개 이상을 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 조합(Combination)을 이용합니다.
접근법:
1. (홀수 선택) 전체 집합의 홀수 {1,3,5,7,9} 5개 중에서 3개를 선택하는 경우의 수를 구합니다. (₅C₃)
2. (짝수 선택) 전체 집합의 짝수 {2,4,6,8} 4개 중에서 2개 이상을 선택하는 경우의 수를 구합니다. (₄C₂ + ₄C₃ + ₄C₄)
3. 두 경우의 수는 서로 독립적이므로, 두 결과를 **곱하여** 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
각 조건을 만족하는 원소를 뽑는 경우의 수를 각각 구한 뒤, 이를 곱의 법칙으로 연결해야 합니다.
”
홀수, 짝수 개수가 정해진 부분집합의 개수
