[고등수학개념사전]010복잡한 식도 가뿐하게! 다항식을 단항식으로 나누는 2가지 필살기

복잡한 식도 가뿐하게! 다항식을 단항식으로 나누는 2가지 필살기

안녕하세요! 곱셈공식을 통해 식을 풍성하게 불리는 법을 배웠다면, 이제는 반대로 복잡한 다항식을 단항식으로 나누어 깔끔하게 정리하는 법을 배울 차례입니다. 나눗셈이라고 해서 겁먹을 필요 없습니다. 결국 ‘공평하게 쪼개기’만 잘하면 되거든요!

다항식을 단항식으로 나누는 두 원칙

다항식 $A+B$를 단항식 $C$로 나눌 때는 다음 두 가지 방법 중 편한 것을 선택하세요.

방법 1 (분수 형태): 각 항을 분자로, 나누는 식을 분모로 보내 쪼갭니다.
$(A+B) \div C = \frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$
방법 2 (역수 곱셈): 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고 나누는 식의 역수를 곱합니다.
$(A+B) \div C = (A+B) \times \frac{1}{C} = A \times \frac{1}{C} + B \times \frac{1}{C}$

🔍 실수를 줄이는 나눗셈 상세 탐구

어떤 상황에서 어떤 방법을 쓰는 것이 유리할까요? 상황별 맞춤 계산법을 알아봅시다.

전략 01 분모로 보내서 한 번에 싹둑!

나누는 식($C$)이 정수나 간단한 문자 하나일 때 주로 사용하는 방법입니다. 다항식의 모든 항 아래에 분모를 깔아준다고 생각하면 쉽습니다. 이때 약분을 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.

전략 02 나누는 식이 분수라면? 역수가 정답!

나누는 식이 $\frac{1}{2}x$처럼 분수 형태를 포함하고 있다면, 분모로 보내는 것보다 역수를 취해 곱하는 것이 훨씬 덜 헷갈립니다. 분배법칙을 사용하듯 괄호 안의 모든 항에 역수를 곱해주면 됩니다.

📖 예제로 확실하게 마스터하기

아래와 같은 나눗셈 문제를 두 가지 방법으로 풀어볼까요?

$$(6x^2y – 4xy^2) \div 2xy$$

방법 1: 분수 형태로 나타내기

$$\frac{6x^2y – 4xy^2}{2xy} = \frac{6x^2y}{2xy} – \frac{4xy^2}{2xy}$$ $$= 3x – 2y$$

방법 2: 역수를 곱하기

$$(6x^2y – 4xy^2) \times \frac{1}{2xy}$$ $$= 6x^2y \times \frac{1}{2xy} – 4xy^2 \times \frac{1}{2xy}$$ $$= 3x – 2y$$

결과는 당연히 같습니다! 자신이 더 빠르고 정확하게 계산할 수 있는 도구를 선택하는 것이 핵심입니다.

💡 선생님의 주의 사항!
가장 많이 하는 실수는 첫 번째 항만 나누고 뒤에 항은 그대로 두는 것입니다. 괄호 안의 식들은 하나의 가족과 같아서, 나눌 때도 모든 항을 공평하게 나누어 주어야 한다는 점을 절대 잊지 마세요!

다항식과 단항식의 나눗셈, 이제 자신감이 생기셨나요?
다음 시간에는 더 높은 단계인 ‘다항식과 다항식의 나눗셈’을 정복해 보겠습니다!

쪼개면 정답이 보인다! (다항식)÷(단항식) 나눗셈 정복 퀴즈 10선

다항식을 단항식으로 나눌 때는 괄호 안의 모든 항에 나눗셈을 공평하게 적용하는 것이 핵심입니다. 분수 형태로 고치거나 역수를 곱하는 전략 중 자신에게 편한 방법을 찾아 10문제를 해결해 보세요!

✏️ 다항식 나눗셈 실전 문제 (10문항)

[01] 다음 나눗셈을 계산하세요.

$$(6x^2 + 9x) \div 3x$$

[02] 다음 나눗셈을 계산하세요.

$$(10a^2 – 15a) \div 5a$$

[03] 다음 식을 간단히 하세요.

$$(x^2y + xy^2) \div xy$$

[04] 음수로 나누는 다음 식의 결과를 구하세요.

$$(-8x^2 + 12x) \div (-4x)$$

[05] 다음 나눗셈의 결과를 구하세요.

$$(5a^2 + 2a) \div a$$

[06] $$(12x^2y – 18xy^2) \div 6xy$$를 계산했을 때, **$x$의 계수**는 무엇인가요?

[07] 역수 곱셈을 활용하여 다음 식을 계산하세요.

$$(2x^2 – 4x) \div \frac{2}{x}$$

[08] 세 항이 있는 다음 다항식의 나눗셈을 계산하세요.

$$(a^2b – ab + ab^2) \div ab$$

[09] 다음 중 계산 결과가 옳지 않은 것을 고르세요.

$(4x^2 – 2x) \div 2x = 2x – 1$
$(9a^2b + 3ab) \div 3ab = 3a + 1$
$(x^2 – x) \div (-x) = -x + 1$
$(10y^2 – 5y) \div 5 = 2y^2 – 5y$

[10] 넓이가 $4x^2 + 6x$이고 세로의 길이가 $2x$인 직사각형의 가로의 길이를 구하세요.

📖 친절한 정답 및 해설

풀이 01

$\frac{6x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} = 2x + 3$
정답: $2x + 3$

풀이 02

$\frac{10a^2}{5a} – \frac{15a}{5a} = 2a – 3$
정답: $2a – 3$

풀이 03

$\frac{x^2y}{xy} + \frac{xy^2}{xy} = x + y$
정답: $x + y$

풀이 04

$\frac{-8x^2}{-4x} + \frac{12x}{-4x} = 2x – 3$ (부호 주의!)
정답: $2x – 3$

풀이 05

$\frac{5a^2}{a} + \frac{2a}{a} = 5a + 2$
정답: $5a + 2$

풀이 06

$\frac{12x^2y}{6xy} – \frac{18xy^2}{6xy} = 2x – 3y$
따라서 $x$의 계수는 2입니다.
정답: 2

풀이 07

$(2x^2 – 4x) \times \frac{x}{2} = (2x^2 \times \frac{x}{2}) – (4x \times \frac{x}{2}) = x^3 – 2x^2$
정답: $x^3 – 2x^2$

풀이 08

$\frac{a^2b}{ab} – \frac{ab}{ab} + \frac{ab^2}{ab} = a – 1 + b$
정답: $a + b – 1$

풀이 09

4번의 경우, $5$로 나누면 모든 항의 계수를 나누어야 합니다.
$(10y^2 – 5y) \div 5 = 2y^2 – y$ 가 되어야 합니다.
정답: 4

풀이 10

가로의 길이 = (넓이) $\div$ (세로의 길이) 이므로,
$(4x^2 + 6x) \div 2x = 2x + 3$
정답: $2x + 3$

💯 학습 완료!
(다항식)÷(단항식)은 모든 항을 공평하게 나누는 ‘나눔의 미학’입니다.
이 과정이 익숙해졌다면, 이제 나눗셈의 꽃인 ‘(다항식)÷(다항식)’을 정복하러 가봅시다!

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