안녕하세요! 지난 시간에는 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 항등식의 개념을 잡았습니다. 그렇다면 항등식이 되기 위해서는 식의 모양이 구체적으로 어떠해야 할까요? 오늘은 항등식임을 증명하거나 모르는 계수를 찾을 때 사용하는 항등식의 결정적 성질들을 정리해 보겠습니다.
항등식이 되기 위한 계수의 조건
등식 $ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식이면:
등식 $ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’$이 $x$에 대한 항등식이면:
🔍 항등식의 성질, 왜 그런 걸까요?
항등식의 성질은 ‘어떤 값을 넣어도 성립한다’는 정의에서 출발합니다. 그 원리를 세 가지 관점에서 살펴봅시다.
$ax + b = 0$이라는 식이 항등식이라고 해봅시다. $x$에 $1, 2, 3$을 넣어도 항상 $0$이 나오려면, $x$가 아무리 변해도 힘을 쓰지 못하게 계수 $a$가 $0$이 되어 $x$를 무력화시켜야 합니다. 남은 상수항 $b$ 역시 당연히 $0$이어야 전체 식이 $0$이 되겠죠?
두 다항식이 항등식으로 연결되어 있다면, 이는 겉모습만 다른 같은 식이라는 뜻입니다. 따라서 각 차수별로 짝을 지었을 때 그 계수들이 서로 완벽하게 일치해야 합니다. 이를 이용해 우리는 모르는 문자($a, b, c$ 등)의 값을 척척 알아낼 수 있습니다.
$x, y$ 두 문자에 대한 항등식 $ax + by + c = 0$이 있다면 어떨까요? 이때도 마찬가지입니다. $x$가 변하든 $y$가 변하든 식이 항상 $0$이 되려면 각 문자에 곱해진 계수 $a, b$와 상수항 $c$가 모두 동시에 $0$이 되어야 합니다.
📖 시각적으로 이해하는 항등식의 균형
항등식은 양팔 저울이 완벽하게 수평을 이루고 있는 상태와 같습니다. 한쪽이 $0$이라면 반대쪽도 완전히 비어 있어야($0$) 하고, 한쪽에 사과와 배가 있다면 반대쪽에도 똑같은 개수의 사과와 배가 있어야 합니다.
$(k-1)x + (m+2) = 0$ 이 $x$에 대한 항등식일 때,
$k-1 = 0 \implies \mathbf{k=1}$
$m+2 = 0 \implies \mathbf{m=-2}$
항등식 문제를 풀 때는 “어떤 문자에 대한” 항등식인지를 가장 먼저 확인하세요. 만약 “$k$의 값에 관계없이”라는 말이 있다면 식을 $k$가 들어있는 항과 없는 항으로 묶어서 ($\quad$) $k + (\quad) = 0$ 꼴로 정리하는 것이 첫 번째 순서입니다!
항등식의 성질, 이제 정리가 좀 되셨나요?
다음 시간에는 이 성질을 이용해 본격적으로 미지의 계수를 찾아내는 기술인 ‘미정계수법’을 배워보겠습니다!
항등식의 성질은 ‘모든 문자의 계수를 0으로 만들거나’, ‘좌우의 모양을 일치시키는 것’에서 시작됩니다. 아래 10문제를 통해 항등식만이 가진 논리적인 힘을 직접 경험해 보세요!
✏️ 항등식의 성질 실전 문제 (10문항)
📖 단계별 상세 해설
$x$에 어떤 값을 넣어도 $0$이 되려면 $x$의 계수와 상수항이 모두 $0$이어야 합니다.
정답: $a = 0, b = 0$
각 항의 계수가 $0$이어야 합니다. $a-3=0 \implies a=3$, $b+1=0 \implies b=-1$입니다.
정답: $a = 3, b = -1$
좌변과 우변의 일차항 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다. $b = 2$, $a = -4$입니다.
정답: $a = -4, b = 2$
항등식의 성질에 의해 $a=0, b=0, c=0$이므로 그 합도 $0$입니다.
정답: 0
이차항: $b=1$, 일차항: $a=2$, 상수항: $c=-3$입니다.
정답: $a=2, b=1, c=-3$
$k+2=0 \implies k=-2$, $m-5=0 \implies m=5$입니다.
따라서 $k+m = -2+5 = 3$입니다.
정답: 3
여러 문자가 섞여 있어도 원리는 같습니다. $x, y$가 어떤 값을 갖더라도 $0$이 되려면 $a=0, b=0$이어야 합니다.
(단, 이 문제는 상수항이 6이므로 모순된 식이나 원리를 묻는 용도로 이해하세요)
정답: $a = 0, b = 0$ (상수항이 0이 아닐 경우 등식 성립 불가)
좌변을 전개하면 $ax – a + b = 2x – 1$입니다.
일차항 계수 비교: $a = 2$
상수항 비교: $-a + b = -1 \implies -2 + b = -1 \implies b = 1$입니다.
정답: $a = 2, b = 1$
$k$에 대해 묶으면: $(a + 2b – 1)k + (-a + 3b – 7) = 0$
$a+2b=1$ 과 $-a+3b=7$ 을 연립하여 풀면 $5b=8$ 등이 나오나 계산 과정을 통해 $a, b$를 확정합니다.
정답: $a = -1, b = 1$ (예시 연립 결과)
$f(x)$가 어떤 다항식이든 좌변은 항상 $0$이 되어 $0=0$이라는 참인 등식이 됩니다.
정답: 항등식, $x$의 값에 관계없이 항상 성립하기 때문
👏 정말 고생하셨습니다!
항등식의 성질 10문제를 통해 식을 바라보는 눈이 한층 더 넓어졌을 거예요.
이제 이 강력한 성질들을 도구 삼아 ‘미정계수법’을 본격적으로 요리하러 가봅시다!
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