안녕하세요! 우리는 수학 문제를 풀면서 수많은 ‘등호($=$)’를 만납니다. 그런데 이 등호가 포함된 식들이 다 똑같은 성격은 아니라는 사실, 알고 계셨나요? 어떤 식은 주인공인 $x$가 누구든 상관없이 언제나 웃어주고, 어떤 식은 까다롭게 특정 $x$에게만 마음을 엽니다. 오늘은 이 두 얼굴의 주인공, 항등식과 방정식을 비교해 보겠습니다.
등식의 두 얼굴: 한눈에 비교하기
문자를 포함하는 등식은 크게 두 종류로 나뉩니다.
- 항등식: 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 등식
- 방정식: 문자의 특정한 값에 대해서만 참이 되는 등식
🔍 상세하게 들여다보는 등식의 성질
항등식은 ‘항상 등호가 성립하는 식’의 줄임말이라고 생각하면 편합니다. 좌변과 우변이 겉모습은 달라도 정리하면 완벽하게 똑같은 쌍둥이 식이죠. 그래서 $x$ 자리에 $1, 10, -100$ 등 무엇을 대입해도 양쪽의 계산 결과는 항상 같습니다.
(전개하면 좌우가 똑같으므로 어떤 $x$를 넣어도 참입니다!)
방정식은 등호를 만족시키는 특별한 문자값이 정해져 있습니다. 이 특별한 값을 우리는 ‘해’ 또는 ‘근’이라고 부르죠. 지정된 값이 아닌 다른 값을 넣으면 등식은 거짓이 됩니다.
($x=2$일 때만 참이고, $x=1$이면 거짓입니다!)
📖 그림으로 이해하는 관계
항등식과 방정식을 직관적으로 이해하기 위해 아래와 같은 상황을 떠올려 보세요.
문제가 직접적으로 “이것은 항등식이다”라고 말해주지 않을 때도 있습니다. 대신 다음과 같은 표현들을 사용하죠.
- “모든 $x$에 대하여” 성립하는 등식
- “임의의 $x$에 대하여” 성립하는 등식
- “$x$의 값에 관계없이” 항상 성립하는 등식
- “어떤 $x$의 값을 갖더라도” 항상 성립하는 등식
이런 문구가 보인다면 100% 항등식 문제라고 생각하고 접근하시면 됩니다!
방정식은 “x를 구하는 것”이 목표라면, 항등식은 이미 식이 같다는 것을 알기 때문에 “계수를 찾아내는 것”이 주된 목표가 됩니다. 앞으로 배울 ‘계수비교법’이나 ‘수치대입법’이 바로 이 항등식의 성질을 이용한 기술들이랍니다!
항등식과 방정식의 차이, 이제 명확히 구분되시나요?
다음 시간에는 항등식만이 가진 아주 특별한 무기, ‘항등식의 성질’에 대해 더 깊이 알아보겠습니다!
등호($=$)가 있다고 해서 다 같은 등식이 아닙니다. 문자의 값에 상관없이 언제나 참인 ‘항등식’과 특정한 답을 찾아야 하는 ‘방정식’의 차이를 명확히 구분하는 것이 고등 수학의 첫걸음입니다. 10문제를 통해 그 차이를 마스터해 보세요!
✏️ 항등식과 방정식 실전 문제 (10문항)
- 특정한 $x$의 값에 대해서만 참이 되는 등식
- 문자를 포함하지 않는 등식
- 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식
- 좌변과 우변의 차수가 다른 등식
② $2(x – 1) = 2x – 2$
② $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
③ $2x = x + x$
④ $x^2 = 4$
- 모든 $x$에 대하여 성립하는 등식
- 임의의 $x$에 대하여 성립하는 등식
- $x$의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식
- 특정한 $x$의 값을 해로 갖는 등식
📖 친절한 정답 및 상세 해설
항등식은 ‘항상 등호가 성립하는 식’입니다. 즉, 어떤 값을 넣어도 참이어야 합니다.
정답: 3번
① $x=3$일 때만 참이므로 방정식입니다.
② 좌변을 전개하면 $2x – 2$가 되어 우변과 완벽히 일치합니다. 어떤 $x$를 넣어도 참입니다.
정답: ②
②와 ③은 좌변과 우변이 완벽히 같은 항등식입니다. ①은 $x=1$, ④는 $x=2, -2$일 때만 참인 방정식입니다.
정답: ①, ④
$x$에 어떤 값을 넣어도 $0$이 되려면 $x$의 계수와 상수항이 모두 $0$이어야 합니다.
정답: $a = 0, b = 0$
특정한 값을 해로 갖는다는 것은 그 값 이외에는 거짓이 될 수 있다는 뜻이므로 방정식에 대한 설명입니다.
정답: 4번
$a – 2 = 0 \to a = 2$, $b + 3 = 0 \to b = -3$
따라서 $a + b = 2 + (-3) = -1$ 입니다.
정답: $-1$
좌변과 우변의 각 항의 계수가 같아야 합니다. $x$의 계수: $b = 2$, 상수항: $a = -5$
정답: $a = -5, b = 2$
우변을 전개하면 $x^2 – 1$이 되어 좌변과 똑같아집니다. 이는 곱셈공식(합차공식)으로 항상 성립하는 식입니다.
정답: 항등식
이차항은 같고, 일차항의 계수 $a = 3$, 상수항 $b = 1$이어야 합니다.
정답: $a = 3, b = 1$
$x$에 어떤 실수를 대입해도 $0 = 0$이 되어 항상 참입니다. 따라서 항등식입니다.
정답: 항등식
💯 학습 완료!
항등식과 방정식의 차이를 이제 확실히 아시겠죠?
다음 시간에는 항등식의 성질을 이용해 모르는 계수를 찾아내는 ‘미정계수법’을 배워보겠습니다!
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