안녕하세요! 지난 시간에는 항등식의 정의와 성질을 배웠습니다. 좌우가 똑같은 쌍둥이 식이라는 성질을 알았으니, 이제 그 성질을 이용해서 식 속에 숨어있는 모르는 계수(미정계수)를 찾아낼 차례입니다. 상황에 따라 골라 쓸 수 있는 두 가지 강력한 무기를 소개합니다!
미정계수법: 모르는 값 정하기
항등식의 성질을 이용하여 정해지지 않은 계수를 구하는 방법입니다.
- 계수비교법: 양변을 전개하여 같은 차수의 항끼리 계수를 비교하는 방법
- 수치대입법: 문자에 적당한 숫자를 대입하여 계수를 찾아내는 방법
🔍 나에게 맞는 방법은? 미정계수 결정 전략
좌변과 우변을 깔끔하게 전개했을 때 사용하는 방법입니다. 항등식은 쌍둥이 식이기 때문에, 2차항은 2차항끼리, 1차항은 1차항끼리, 상수는 상수끼리 그 모양(계수)이 반드시 같아야 합니다. 식이 간단하게 전개될 때 아주 유리합니다.
식이 전개하기 까다롭거나 $(x-1), (x+2)$ 같은 인수가 보일 때 사용하는 필살기입니다. 항등식은 어떤 $x$를 넣어도 참이라는 점을 이용해, 복잡한 덩어리를 0으로 만드는 숫자를 대입하여 모르는 문자를 하나씩 고립시켜 찾아냅니다.
$x=1$ 대입 $\to 3b = 6 \implies \mathbf{b=2}$
$x=-2$ 대입 $\to -3a = 6 \implies \mathbf{a=-2}$
📖 시각적으로 이해하는 문제 해결의 흐름
어떤 방법을 쓸지 고민된다면 다음 기준을 참고해 보세요.
- 계수비교법: 다항식의 전개가 쉬울 때, 양변의 차수가 낮을 때
- 수치대입법: 다항식이 곱의 형태로 묶여 있을 때, 대입했을 때 식이 간단해지는 숫자가 눈에 보일 때
수치대입법을 쓸 때 꼭 인수를 0으로 만드는 값만 넣어야 하는 건 아닙니다. 계산하기 편한 $0, 1, -1$ 같은 숫자를 넣어 식을 여러 개 만든 뒤 연립방정식으로 푸는 것도 훌륭한 전략입니다. 두 방법을 적절히 혼합해서 사용하는 것이 가장 고수다운 방법이랍니다!
미정계수법의 두 가지 무기, 이제 상황에 맞춰 꺼내 쓸 수 있겠죠?
다음 시간에는 이 항등식의 원리를 나눗셈에 적용한 꽃, ‘나머지정리’에 대해 배워보겠습니다!
미정계수법은 정해지지 않은 계수를 찾는 두 가지 필살기, 계수비교법과 수치대입법을 말합니다. 어떤 방법을 쓰는 것이 더 빠르고 정확할지 판단하며 10문제를 해결해 보세요!
✏️ 미정계수법 실전 문제 (10문항)
📖 상세 풀이 가이드
양변의 일차항과 상수항을 직접 비교합니다.
$x$의 계수: $a = 3$, 상수항: $b = -2$
정답: $a = 3, b = -2$
$x=1$ 대입: $2b = 2(1)+4 = 6 \implies b=3$
$x=-1$ 대입: $-2a = 2(-1)+4 = 2 \implies a=-1$
정답: $a = -1, b = 3$
계수비교: $b=1, a=5, c=3$
$a+b+c = 5+1+3 = 9$
정답: 9
좌변 정리: $(k+2)x + k = 5x + 3$
$k+2=5$ 이고 $k=3$이어야 합니다. 두 식을 모두 만족하는 $k$는 3입니다.
정답: 3
좌변 전개: $x^2 + (a+b)x + ab = x^2 + 7x + 12$
두 수의 합이 7, 곱이 12인 숫자는 3과 4입니다.
정답: $a = 3, b = 4$
우변 인수분해: $(x-2)(x-3)$
좌변의 $(x-3)$으로 묶으면: $(x-3)\{a(x-2)+b\} = (x-2)(x-3)$
$a(x-2)+b = x-2$ 이므로 $a=1, b=0$입니다.
정답: $a = 1, b = 0$
우변 전개: $2(x^2-2x+1) + 3x-3 + 1 = 2x^2-4x+2+3x-2 = 2x^2-x$
계수 비교: $a=2, b=-1, c=0$
정답: $a=2, b=-1, c=0$
$x=-1$ 대입: $-3b = 3 \implies b=-1$
$x=2$ 대입: $3a = 3 \implies a=1$
정답: $a = 1, b = -1$
$a+b=4, a-b=2, c=2$ 임을 알 수 있습니다.
연립하면 $2a=6 \to a=3$, $b=1$ 입니다.
정답: $a=3, b=1, c=2$
$f(0)=c=1$
$f(1)=a+b+1=3 \implies a+b=2$
$f(-1)=a-b+1=1 \implies a-b=0$
연립하면 $a=1, b=1$ 입니다.
정답: $a=1, b=1, c=1$
💯 정말 잘하셨습니다!
미정계수법의 두 무기를 상황에 맞게 휘두를 수 있게 되셨군요!
다음 시간에는 이 항등식의 원리를 나눗셈에 적용한 마법, ‘나머지정리’를 배워보겠습니다!
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