안녕하세요! 복잡한 다항식을 직접 세로로 나누느라 고생 많으셨죠? 오늘은 그 수고를 획기적으로 줄여줄 비법을 공개합니다. 바로 나머지정리인데요. 일차식으로 나눌 때만큼은 직접 나누지 않고도 ‘숫자 대입’ 한 번으로 나머지를 구할 수 있는 놀라운 원리입니다!
나머지정리의 핵심 요약
다항식 $f(x)$를 일차식으로 나눌 때의 나머지는 다음과 같습니다.
- $x – \alpha$로 나눌 때: 나머지 $R = f(\alpha)$
- $ax + b$로 나눌 때: 나머지 $R = f\left(-\frac{b}{a}\right)$
즉, 나누는 식을 0으로 만드는 $x$값을 원래 식에 대입하면 그것이 곧 나머지입니다!
🔍 나눗셈 없이 나머지가 나오는 이유
왜 대입만 해도 나머지가 튀어나올까요? 우리가 배웠던 나눗셈의 등식 관계를 떠올려 봅시다.
다항식 $f(x)$를 $x-\alpha$로 나누었을 때 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$이라 하면 다음 식이 성립합니다.
이 식은 $x$에 대한 항등식이므로 어떤 값을 넣어도 참입니다. 이때 $x = \alpha$를 대입하면 어떻게 될까요? $(x-\alpha)$ 부분이 $0$이 되면서 몫인 $Q(x)$가 무엇이든 상관없이 통째로 사라집니다! 결국 $f(\alpha) = R$이라는 결과만 남게 되는 것이죠.
나누는 식이 $ax+b$라면 어떨까요? 똑같습니다. $ax+b$를 $0$으로 만드는 값인 $x = -\frac{b}{a}$를 $f(x)$에 대입하면 됩니다.
📖 실전 적용 예시
다항식 $f(x) = x^3 – 2x^2 + 4$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지를 구해볼까요?
$$R = f(1) = 1^3 – 2(1^2) + 4$$ $$= 1 – 2 + 4 = \mathbf{3}$$
복잡하게 세로로 나눌 필요 없이, $1$을 대입해서 계산하는 것만으로 나머지 $3$을 바로 찾아냈습니다!
나머지정리는 일차식으로 나눌 때만 사용할 수 있는 강력한 무기입니다. 만약 이차식 이상으로 나눈다면 나머지정리를 그대로 쓰기보다는 우리가 배웠던 $A=BQ+R$의 관계식을 세워 접근하는 것이 더 정확한 방법이랍니다!
나머지정리의 마법, 이제 이해가 되셨나요?
다음 시간에는 나머지가 0일 때의 특수한 상황인 ‘인수정리’에 대해 알아보겠습니다!
나머지정리의 핵심은 **’나누는 일차식을 0으로 만드는 값을 원래 다항식에 대입하는 것’**입니다. 이 단순한 규칙이 복잡한 나눗셈을 어떻게 해결하는지 다음 10문제를 통해 직접 확인해 보세요!
✏️ 나머지정리 실전 연습 (10문항)
📖 단계별 상세 해설
나머지정리에 의해 나머지는 $f(2)$입니다.
$f(2) = 2^2 – 3(2) + 4 = 4 – 6 + 4 = 2$
정답: 2
나누는 식 $x+1$을 0으로 만드는 $x = -1$을 대입합니다.
$f(-1) = 2(-1)^3 – (-1)^2 + 5 = -2 – 1 + 5 = 2$
정답: 2
$x = 1$을 대입합니다.
$f(1) = 1^4 – 2(1)^2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0$
정답: 0
나머지정리에 의해 $f(3) = 0$이어야 합니다.
$f(3) = 3^2 + 3k – 6 = 9 + 3k – 6 = 3k + 3$
$3k + 3 = 0 \implies k = -1$
정답: -1
나머지가 2이므로 $f(-2) = 2$입니다.
$f(-2) = 2(-8) + 3(4) – 2a – 4 = -16 + 12 – 2a – 4 = -8 – 2a$
$-8 – 2a = 2 \implies -2a = 10 \implies a = -5$
정답: -5
$2x – 1 = 0$이 되는 $x = \frac{1}{2}$을 대입합니다.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) – 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{2} – 1 + 1 = \frac{1}{2}$
정답: $\frac{1}{2}$
나머지정리의 정의 그 자체를 묻는 문제입니다. $f(x)$를 $x – 3$으로 나눈 나머지는 $f(3)$입니다.
정답: 7
$x = -1$을 대입합니다.
$(-1)^{10} + (-1)^5 + 1 = 1 – 1 + 1 = 1$
정답: 1
$x = 0$을 대입한 값이 나머지입니다.
$f(0) = 3(0)^2 – 0 + 2 = 2$
정답: 2
$f(x) = (x-1)Q(x) + 5$라는 나눗셈 등식에서 $x=1$을 대입하면 $f(1) = 5$임을 알 수 있습니다.
정답: 5
💯 학습 완료!
나머지정리를 이용하면 복잡한 나눗셈도 단순한 산수 문제로 바뀝니다.
이제 나머지가 0일 때의 아주 특별한 성질, ‘인수정리’를 배우러 가볼까요?
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