안녕하세요! 지난 시간에 배운 나머지정리, 기억하시나요? 다항식 $f(x)$를 $x-\alpha$로 나눈 나머지는 $f(\alpha)$라는 아주 편리한 정리였죠. 오늘은 여기서 한 걸음 더 나아가, **나머지가 0이 되는 아주 특별한 경우**인 인수정리를 알아보겠습니다.
인수정리란 무엇일까?
나머지정리에 의하여 다음과 같은 인수정리가 성립합니다.
- 다항식 $f(x)$가 일차식 $x-\alpha$로 나누어떨어지면 $f(\alpha)=0$이다.
- 반대로, $f(\alpha)=0$이면 다항식 $f(x)$는 일차식 $x-\alpha$로 나누어떨어진다.
🔍 f(α)=0이 담고 있는 5가지 같은 의미
수학 문제에서 다음과 같은 표현들은 모두 “인수정리를 써라!”라는 똑같은 신호입니다.
- $f(x)$를 $x-\alpha$로 나누었을 때의 나머지가 $0$이다.
- $f(x)$가 $x-\alpha$로 **나누어떨어진다**.
- $f(x)$가 $x-\alpha$를 **인수로 갖는다**.
- $f(x) = (x-\alpha)Q(x)$ 꼴로 나타낼 수 있다.
- $x = \alpha$는 방정식 $f(x)=0$의 **근(해)**이다.
📖 실전 적용: 인수분해의 시작
인수정리를 이용하면 직접 나눗셈을 하지 않고도 다항식이 어떤 일차식으로 나누어떨어지는지 쉽게 알 수 있어 인수분해에 매우 유용합니다.
예제
다항식 $f(x) = x^2 – x – 2$를 인수분해 해볼까요?
1. $f(2) = 4 – 2 – 2 = 0$이므로 $f(x)$는 $(x-2)$를 인수로 갖습니다.
2. $f(-1) = 1 – (-1) – 2 = 0$이므로 $f(x)$는 $(x+1)$을 인수로 갖습니다.
3. 따라서 $f(x) = (x-2)(x+1)$로 인수분해됩니다.
개념 Check
다항식 $f(x) = x^3 + 4x^2 – 6x + a$가 $x-1$로 나누어떨어질 때, $a$의 값은?
인수정리에 의하여 $f(1)=0$이어야 하므로,
$1 + 4 – 6 + a = 0 \implies -1 + a = 0$
따라서 a = 1입니다.
$1 + 4 – 6 + a = 0 \implies -1 + a = 0$
따라서 a = 1입니다.
💡 선생님의 팁!
인수정리는 결국 나머지정리에서 나머지가 0인 특수한 상황일 뿐입니다. “인수(Factor)”라는 말은 다항식을 곱하기 형태로 쪼갰을 때의 각 덩어리를 의미하므로, $f(\alpha)=0$을 발견했다면 $x-\alpha$라는 덩어리를 하나 찾은 것이라고 기뻐하셔도 좋습니다!
인수정리는 결국 나머지정리에서 나머지가 0인 특수한 상황일 뿐입니다. “인수(Factor)”라는 말은 다항식을 곱하기 형태로 쪼갰을 때의 각 덩어리를 의미하므로, $f(\alpha)=0$을 발견했다면 $x-\alpha$라는 덩어리를 하나 찾은 것이라고 기뻐하셔도 좋습니다!
인수정리의 마법, 이제 확실히 잡으셨나요?
다음 시간에는 이 모든 나눗셈 원리를 아주 빠르게 계산하는 기술인 ‘조립제법’을 배워보겠습니다!
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