안녕하세요! 지난 시간에는 세로셈을 통해 몫과 나머지를 직접 구해보았죠? 오늘은 그 계산 결과를 멋진 ‘수학적 문장’으로 바꾸는 법을 배워보겠습니다. 초등학교 때 배운 ‘검산식’이 고등학교에서는 어떻게 변신하는지 확인해 보세요!
다항식 나눗셈의 등식 관계
다항식 $A$를 다항식 $B$($B \neq 0$)로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.
- 차수 조건: (나머지 $R$의 차수) < (나누는 식 $B$의 차수)
- 특수 상황: $R = 0$이면 $A$는 $B$로 나누어떨어진다고 합니다.
🔍 나눗셈 등식이 가지는 특별한 의미
단순히 식을 옮겨 적는 것 이상의 중요한 포인트 세 가지를 짚어드릴게요.
$A = BQ + R$은 좌변과 우변이 완벽하게 똑같은 식입니다. 즉, $x$에 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 항등식이죠. 나중에 복잡한 나머지정리 문제를 풀 때, 우리가 원하는 숫자를 쏙쏙 대입해서 정답을 찾아낼 수 있는 이유가 바로 여기에 있습니다.
나머지 $R$의 차수는 나누는 식 $B$보다 반드시 작아야 합니다. 이 약속 덕분에 우리는 문제를 풀 때 나머지를 미리 예측하여 설정할 수 있습니다.
- $B$가 1차식이면 $\to$ $R$은 상수
- $B$가 2차식이면 $\to$ $R$은 1차식 이하($ax+b$)
- $B$가 3차식이면 $\to$ $R$은 2차식 이하($ax^2+bx+c$)
나머지 $R$이 $0$이라면 $A = BQ$가 됩니다. 이는 다항식 $A$가 $B$와 $Q$라는 두 덩어리의 곱으로 이루어졌다는 뜻이죠. 이 개념은 나중에 배우게 될 ‘인수분해’와 ‘인수정리’의 핵심 원리와 맞닿아 있습니다.
📖 예제로 관계 이해하기
다항식 $x^2 + 3x + 5$를 $x + 1$로 나누면 몫이 $x + 2$이고 나머지가 $3$입니다. 이를 등식으로 나타내면?
실제로 우변의 $(x+1)(x+2)+3$을 전개해보면 좌변과 똑같은 $x^2+3x+5$가 나옵니다. 정말 신기하죠?
나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 같거나 크다면, 아직 나눗셈이 덜 끝난 것입니다. 문제를 풀다가 그런 경우가 생긴다면 당황하지 말고 한 번 더 나누어주세요! 이 규칙만 지키면 나눗셈 등식에서 실수할 일은 전혀 없습니다.
나눗셈 등식의 구조, 이제 머릿속에 그려지시나요?
다음 시간에는 이 식을 활용해 미지의 계수를 찾아내는 ‘항등식과 방정식’에 대해 알아보겠습니다!
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