안녕하세요! 지난 시간에는 다항식을 펼치는 ‘전개’에 대해 배웠습니다. 하지만 실전 문제에서는 $a$와 $b$를 각각 알려주지 않고 합($a+b$)과 곱($ab$)만 덩어리로 던져줄 때가 많습니다. 이때 우리가 알고 있는 곱셈 공식을 살짝 뒤집으면 번거로운 연산 없이도 식의 값을 척척 구할 수 있습니다.
반드시 암기해야 할 필수 변형 공식
기초부터 심화까지, 자주 출제되는 6가지 공식입니다.
- $a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab$ 또는 $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
- $(a-b)^2 = (a+b)^2 – 4ab$
- $a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)$, $a^3 – b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
- $a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 – 2(ab + bc + ca)$
- $a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}$
- $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$
🔍 한 걸음 더: 대칭식(Symmetric Expression)
문자 $a, b$를 서로 바꾸어 대입해도 식의 값이 변하지 않는 식을 대칭식이라고 합니다. 예를 들어 $a^2 + b^2$은 $b^2 + a^2$과 같으므로 대칭식입니다. 보통 이런 대칭식은 합($a+b$)과 곱($ab$)을 이용해 나타낼 수 있으므로 위의 공식들을 적극 활용하게 됩니다.
📖 예제 실전 풀이 (Check!)
공식을 무작정 외우기보다, 공식의 **우변을 전개하면 좌변이 되는지** 직접 확인해 보세요. 특히 제곱의 합에서 $2ab$를 뺄지, 세제곱의 합에서 $3ab(a+b)$를 뺄지 헷갈릴 때는 전개 원리를 떠올리는 것이 가장 확실합니다.
곱셈 공식의 변형은 고등 수학 전반에 걸쳐 계속 사용됩니다.
다음 시간에는 다항식 연산의 또 다른 핵심, ‘다항식의 나눗셈’을 정복해 보겠습니다!
인수정리는 나머지정리에서 **나머지가 0인 특수한 경우**를 말합니다. $f(\alpha)=0$이라는 힌트가 주어지면 $x-\alpha$라는 인수를 바로 떠올려야 합니다. 이 원리를 활용해 다항식의 미지의 계수를 찾거나 인수분해를 완성하는 10문제를 풀어보세요!
✏️ 인수정리 실전 연습 (10문항)
📖 단계별 상세 해설
$f(2) = 2^2 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0$ 입니다.
함숫값이 $0$이므로 인수정리에 의해 $x-2$는 $f(x)$의 인수이며, $f(x)$는 $x-2$로 나누어떨어집니다.
정답: 나누어떨어짐
인수정리에 의해 $f(1)=0$이어야 합니다.
$f(1) = 1^3 + 4(1^2) – 6(1) + a = 1 + 4 – 6 + a = -1 + a$
$-1 + a = 0$ 이므로 $a = 1$입니다.
정답: 1
$x+1$이 인수라면 $f(-1)=0$입니다.
$f(-1) = (-1)^2 + k(-1) – 4 = 1 – k – 4 = -k – 3$
$-k – 3 = 0 \implies k = -3$
정답: -3
인수정리에 의하여 $f(\alpha)=0$이면 $x-\alpha$를 인수로 갖습니다.
따라서 $f(2)=0$이면 x-2를 인수로 갖습니다.
정답: $x-2$
$f(1) = 1^3 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0$
$f(1)=0$이므로 $f(x)$는 x-1을 인수로 갖습니다.
정답: $f(1)=0$, 인수: $x-1$
$f(1) = 1 + a + b – 2 = 0 \implies a + b = 1$
$x+1$도 인수이므로 $f(-1) = -1 + a – b – 2 = 0 \implies a – b = 3$
문제에서 묻는 값은 $a+b$이므로 첫 번째 식에서 바로 구할 수 있습니다.
정답: 1
$f(3) = 0$이어야 하므로,
$f(3) = 2(27) – 9 + 3k – 3 = 54 – 9 + 3k – 3 = 42 + 3k$
$42 + 3k = 0 \implies 3k = -42 \implies k = -14$
정답: -14
인수정리에 의해 $f(x)$는 $x-1$과 $x-(-3)$, 즉 $x+3$을 인수로 갖습니다.
최고차항 계수가 1이므로 $f(x) = (x-1)(x+3)$ 입니다.
정답: $f(x) = x^2 + 2x – 3$
나누는 일차식 $2x-1$을 $0$으로 만드는 값이 $\alpha$가 됩니다.
$2x – 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$
정답: $\frac{1}{2}$
$f(1) = 0$이어야 하므로,
$f(1) = 1^{100} – a(1) + 1 = 1 – a + 1 = 2 – a$
$2 – a = 0 \implies a = 2$
정답: 2
👏 정말 수고하셨습니다!
인수정리는 다항식의 근을 찾는 가장 기초적이면서도 강력한 도구입니다.
이제 이 모든 나눗셈과 인수정리를 빛의 속도로 계산하게 해주는 ‘조립제법’을 정복하러 가볼까요?
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