안녕하세요! 지난 시간에는 분배법칙을 이용해 식을 하나하나 펼치는 법을 배웠습니다. 하지만 매번 복잡한 식을 일일이 전개하기엔 우리 시간이 너무 아깝죠? 그래서 수학자들은 자주 나오는 곱셈 형태를 공식으로 만들었습니다. 이것이 바로 곱셈공식입니다. 이 공식들은 구구단처럼 몸이 기억할 정도로 익숙해져야 합니다!
핵심 곱셈공식 한눈에 보기
가장 기본이 되는 5가지 공식입니다. 반드시 암기해 주세요!
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
- $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$
- $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
- $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$
🔍 한 차원 높은 고등 필수 공식
중학교 수준을 넘어 고등학교에서 새롭게 등장하고 자주 쓰이는 심화 공식들입니다.
항이 세 개인 식의 제곱은 각 항의 제곱을 먼저 쓰고, 두 배의 ‘두 항씩의 곱’을 더합니다.
합과 차의 세제곱은 계수가 $1, 3, 3, 1$ 순서로 나타납니다.
인수분해와도 밀접한 관련이 있는 매우 중요한 공식입니다. 부호의 위치를 주의 깊게 보세요.
두 식의 모양이 비슷하지만 가운데 부호만 다를 때 나타나는 형태입니다.
공식을 단순히 글자로 외우기보다 ‘구조’로 기억하세요. 예를 들어 $(a+b)^2$은 “앞에꺼 제곱 + 둘이 곱해서 두 배 + 뒤에꺼 제곱”이라고 소리 내어 읽으며 익히면 훨씬 오래 기억에 남습니다.
곱셈공식은 수학의 기초 체력입니다. 처음에는 낯설어도 반복해서 쓰다 보면 익숙해질 거예요.
다음 시간에는 이 공식을 거꾸로 활용하거나 변형하는 ‘곱셈공식의 변형’에 대해 알아보겠습니다!
곱셈공식은 수학의 ‘단축키’와 같습니다. 복잡한 전개 과정을 생략하고 바로 답을 도출할 수 있도록 20문제를 통해 충분히 연습해 보세요. 눈으로 푸는 것이 아니라 손으로 직접 써보는 과정이 반드시 필요합니다!
✏️ 곱셈공식 실전 문제 (20문항)
📖 정답 및 상세 해설
[01] $x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = \mathbf{x^2 + 6x + 9}$
[02] $(2x)^2 – 2(2x)(5y) + (5y)^2 = \mathbf{4x^2 – 20xy + 25y^2}$
[03] $(4a)^2 – (3b)^2 = \mathbf{16a^2 – 9b^2}$
[04] $x^2 + (5-2)x + (5)(-2) = \mathbf{x^2 + 3x – 10}$
[05] $(3 \cdot 2)x^2 + (3 \cdot 4 – 1 \cdot 2)x + (-1 \cdot 4) = \mathbf{6x^2 + 10x – 4}$
[06] $a^2+b^2+3^2 + 2(ab+3b+3a) = \mathbf{a^2+b^2+9+2ab+6b+6a}$
[07] $x^2+(-2y)^2+z^2 + 2\{x(-2y)+(-2y)z+zx\} = \mathbf{x^2+4y^2+z^2-4xy-4yz+2zx}$
[08] $x^3+3x^2(2)+3x(2^2)+2^3 = \mathbf{x^3+6x^2+12x+8}$
[09] $x^3-3x^2(1)+3x(1^2)-1^3 = \mathbf{x^3-3x^2+3x-1}$
[10] $(2a)^3+3(2a)^2b+3(2a)b^2+b^3 = \mathbf{8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3}$
[11] $x^3-3x^2(3y)+3x(3y)^2-(3y)^3 = \mathbf{x^3-9x^2y+27xy^2-27y^3}$
[12] $(x+2)(x^2-2x+2^2) = x^3+2^3 = \mathbf{x^3+8}$
[13] $(3x-1)\{(3x)^2+(3x)(1)+1^2\} = (3x)^3-1^3 = \mathbf{27x^3-1}$
[14] $x^3+(1+2+3)x^2+(2+6+3)x+6 = \mathbf{x^3+6x^2+11x+6}$
[15] $x^3+(-1-2-4)x^2+(2+8+4)x-8 = \mathbf{x^3-7x^2+14x-8}$
[16] $(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+1)^2-x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = \mathbf{x^4+x^2+1}$
[17] $\mathbf{x^4+9x^2y^2+81y^4}$ (지수법칙 4차 공식)
[18] $\mathbf{a^3+b^3+c^3-3abc}$ (가장 긴 공식)
[19] $(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2) = \mathbf{4xy}$
[20] $(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + \cdots$ 이므로 $x^2$의 계수는 $3 \times 2 = \mathbf{6}$
👏 20문제를 모두 정복하셨나요?
곱셈공식은 암기 후 반복이 정답입니다. 이 문제들이 막힘없이 풀린다면 다음 단계인 ‘곱셈공식의 변형’도 충분히 해낼 수 있습니다!
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