안녕하세요! 지난 시간에는 괄호를 풀어 식을 펼치는 ‘전개’에 대해 배웠습니다. 오늘은 그 전개 과정에서 우리가 마음껏 사용할 수 있는 다항식 곱셈의 규칙들을 알아보려고 합니다. 이 법칙들을 잘 활용하면 복잡한 식도 마치 퍼즐처럼 쉽고 빠르게 풀 수 있습니다!
다항식 곱셈의 3가지 핵심 규칙
세 다항식 $A, B, C$에 대하여 다음의 연산 법칙이 항상 성립합니다.
- 교환법칙: 위치를 바꿔 곱해도 결과는 같다!
$AB = BA$ - 결합법칙: 어느 쪽을 먼저 묶어 곱해도 결과는 같다!
$(AB)C = A(BC)$ - 분배법칙: 괄호 밖의 식을 안쪽 항들에 골고루 곱해준다!
$A(B+C) = AB + AC, \quad (A+B)C = AC + BC$
🔍 법칙 속에 담긴 연산의 지혜
이 세 가지 법칙이 실전 문제에서 어떻게 우리를 돕는지 구체적으로 살펴볼까요?
$2 \times 3$이 $3 \times 2$와 같은 것처럼, 다항식 $A$와 $B$를 곱할 때도 그 순서는 중요하지 않습니다. 이 법칙 덕분에 우리는 계산하기 더 편한 식을 앞으로 보내거나 뒤로 보내는 등 식의 모양을 자유롭게 조정할 수 있습니다.
세 다항식을 곱할 때 앞에서부터 차례대로 곱하지 않고, 뒤의 두 식을 먼저 곱한 뒤 앞의 식을 곱해도 결과는 똑같습니다. 예를 들어 $A$와 $C$를 곱했을 때 식이 매우 간단해진다면, 교환법칙과 결합법칙을 함께 써서 $A$와 $C$를 먼저 계산하는 전략을 세울 수 있습니다.
다항식 연산에서 가장 자주 쓰이는 법칙입니다. 괄호 앞(또는 뒤)에 곱해진 식을 괄호 안의 모든 항에 공평하게 나누어 곱해주는 과정입니다. 이 법칙은 식을 전개할 때뿐만 아니라, 나중에 공통부분을 묶어내는 ‘인수분해’의 원리가 되기도 합니다.
📖 예제로 법칙의 힘 확인하기
다음과 같은 계산이 있다고 가정해 봅시다.
이 식은 분배법칙을 거꾸로 적용하여 다음과 같이 묶을 수 있습니다.
반대로 위 식을 다시 전개할 때도 분배법칙이 쓰이죠. 이렇게 법칙을 자유자재로 다루면 복잡한 다항식이 훨씬 친숙하게 느껴질 거예요!
분배법칙을 사용할 때 가장 주의할 점은 부호입니다. 괄호 앞에 마이너스($-$)가 포함된 다항식이 있다면, 안쪽의 모든 항에 그 부호를 정확히 적용해야 실수를 피할 수 있습니다.
다항식 곱셈의 기본 원칙들을 잘 이해하셨나요?
다음 시간에는 이 원칙들을 바탕으로 만들어진 마법 같은 공식, ‘곱셈공식’을 본격적으로 배워보겠습니다!
다항식 곱셈의 연산 법칙은 단순히 공식으로 아는 것을 넘어, 복잡한 식을 만났을 때 “어떻게 하면 더 편하게 계산할까?”를 결정하는 전략이 됩니다. 10문제를 풀며 그 감각을 익혀보세요!
✏️ 다항식 곱셈 법칙 실전 문제 (10문항)
📖 친절한 정답 및 해설
곱하는 순서를 바꾸어도 결과가 같은 성질은 교환법칙입니다.
세 식의 곱에서 결합하는 순서를 바꾸어도 결과가 같은 성질은 결합법칙입니다.
괄호를 풀어서 각 항에 곱을 나누어주는 법칙은 분배법칙입니다.
$(x + 1) \times x = x \cdot x + 1 \cdot x = x^2 + x$
참고로 $A \times B$ 또한 $x^2 + x$로 결과가 같습니다.
곱셈의 순서를 괄호로 다시 묶었으므로 결합법칙이 사용되었습니다.
$2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-3x) + 2x \cdot 4$
정답: $2x^3 – 6x^2 + 8x$
식 $C$를 괄호 안의 $A$와 $B$에 각각 나누어 곱했으므로 분배법칙입니다.
$(xy)z = xyz$, $x(yz) = xyz$
두 식의 결과가 xyz로 동일함을 알 수 있습니다.
공통으로 들어있는 $a$를 괄호 밖으로 꺼냅니다.
정답: $a(x + y)$
$x^2(x + 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1$
정답: $x^3 + x^2$
💯 학습 완료!
다항식 곱셈 법칙은 앞으로 배울 모든 수학 연산의 기초 체력입니다.
이제 이 법칙들을 실전에서 아주 빠르게 사용하는 ‘곱셈공식’을 정복하러 가볼까요?
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