안녕하세요! 지난 시간에는 다항식의 덧셈과 뺄셈 규칙을 배웠죠? 이제 본격적으로 식을 ‘곱하고 나누는’ 단계로 넘어갑니다. 이때 우리를 도와주는 가장 강력한 무기가 바로 지수법칙입니다. 복잡해 보이는 거듭제곱도 이 규칙만 알면 한 줄로 정리할 수 있어요!
지수법칙 핵심 5가지
실수 $a, b$와 자연수 $m, n$에 대하여 다음이 성립합니다.
- 곱셈: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- 거듭제곱의 거듭제곱: $(a^m)^n = a^{mn}$
- 분배 (곱): $(ab)^n = a^n b^n$
- 분배 (나눗셈): $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$
- 나눗셈: $a^m \div a^n = \begin{cases} a^{m-n} & (m > n) \\ 1 & (m = n) \\ \frac{1}{a^{n-m}} & (m < n) \end{cases}$
🔍 원리별로 꼼꼼하게 들여다보기
같은 문자를 여러 번 곱할 때는 지수끼리 더해주면 됩니다. 예를 들어 $a^2$($a$를 2번 곱함)과 $a^3$($a$를 3번 곱함)을 곱하면 총 $a$가 5번 곱해진 것이므로 $a^{2+3} = a^5$가 됩니다.
$(a^2)^3$은 $a^2$이라는 덩어리를 3번 곱한 것입니다. 즉, $a^2 \cdot a^2 \cdot a^2$이므로 $a$가 총 $2 \times 3 = 6$번 곱해진 $a^6$이 됩니다. 지수끼리 더하는 것과 곱하는 것을 혼동하지 않도록 주의하세요!
$(ab)^n$이나 $\left(\frac{a}{b}\right)^n$처럼 괄호 안에 곱셈이나 나눗셈이 있을 때는 밖의 지수 $n$을 모든 항에 공평하게 적용합니다. 이를 지수의 분배라고 생각하면 쉽습니다.
나눗셈은 분수 형태와 같아서 약분이 일어납니다.
- 앞의 지수가 더 크면($m>n$) 남은 개수만큼 지수를 뺍니다.
- 지수가 같으면($m=n$) 모두 약분되어 1이 됩니다.
- 뒤의 지수가 더 크면($m
📖 예제로 익히는 실전 계산
$= (a^{2 \times 3} b^3) \cdot a^4$
$= a^6 b^3 \cdot a^4 = a^{6+4} b^3 = \mathbf{a^{10} b^3}$
$= x^6 \div x^8$
뒤의 지수가 더 크므로 분모로 보냅니다.
$= \mathbf{\frac{1}{x^{8-6}} = \frac{1}{x^2}}$
나눗셈 법칙에서 $m=n$일 때 결과가 0이 아니라 1이라는 점을 꼭 기억하세요! 자기 자신을 자기 자신으로 나누면 언제나 1이 됩니다. 이 실수가 가장 많이 나오니 주의해야 합니다.
지수법칙이 손에 익으면 복잡한 다항식 곱셈도 두렵지 않습니다.
다음 시간에는 이 법칙들을 활용한 ‘다항식의 곱셈 전개’를 본격적으로 다뤄보겠습니다!
지수법칙은 식의 계산 속도를 결정하는 핵심 도구입니다. 더하기와 곱하기를 언제 써야 하는지, 나눗셈에서 지수가 어떻게 변하는지 주의하며 10문제를 풀어보세요.
✏️ 지수법칙 실전 문제 (10문항)
📖 친절하고 상세한 풀이
밑이 같을 때 곱셈은 지수끼리 더합니다.
$a^3 \cdot a^5 = a^{3+5}$
정답: $a^8$
거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱합니다.
$(x^2)^4 = x^{2 \times 4}$
정답: $x^8$
괄호 안의 모든 요소에 지수를 각각 적용합니다.
$(2ab)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot b^3 = 8a^3 b^3$
정답: $8a^3 b^3$
1단계: $(x^3 y^2)^2 = x^6 y^4$
2단계: $x^6 y^4 \cdot x^4 = x^{6+4} y^4 = x^{10} y^4$
정답: $x^{10} y^4$
앞의 지수가 더 크므로 지수를 뺍니다.
$a^8 \div a^3 = a^{8-3} = a^5$
정답: $a^5$
지수가 같으면 자기 자신을 나누는 것과 같으므로 결과는 1입니다.
정답: $1$
뒤의 지수가 더 크므로 분모에 남게 됩니다.
$y^2 \div y^6 = \frac{1}{y^{6-2}} = \frac{1}{y^4}$
정답: $\frac{1}{y^4}$
지수법칙에 의해 $3 \times \square = 12$가 되어야 합니다.
정답: $4$
분자와 분모 모두에 지수를 분배합니다.
$\frac{(2x^2)^3}{y^3} = \frac{2^3 \cdot x^{2 \times 3}}{y^3} = \frac{8x^6}{y^3}$
정답: $\frac{8x^6}{y^3}$
1단계 (괄호 풀기): $(x^6 y^3) \div (x^2 y^4) \cdot x$
2단계 (나눗셈): $\frac{x^6 y^3}{x^2 y^4} = x^4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{x^4}{y}$
3단계 (곱셈): $\frac{x^4}{y} \cdot x = \frac{x^5}{y}$
정답: $\frac{x^5}{y}$
👍 정말 잘하셨습니다!
지수법칙 10문제를 모두 정복하셨나요? 나눗셈의 세 가지 경우를 잘 구분하는 것이 핵심입니다.
다음 시간에는 이 기초를 활용해 ‘식의 전개’를 본격적으로 다뤄보겠습니다!
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