[고등수학개념사전]004고등 수학 기초 다지기: 다항식 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 완벽 정리

계산 순서는 내 마음대로! 다항식 덧셈이 편해지는 2가지 절대 법칙

안녕하세요! 지난 시간에는 다항식을 동류항끼리 묶어서 계산하는 기초를 다졌습니다. 그런데 다항식이 세 개 이상 나오면 어떤 것부터 더해야 할지 고민될 때가 있죠? 오늘은 계산의 순서를 내 마음대로 조정해도 결과가 변하지 않는 마법 같은 두 가지 법칙을 배워보겠습니다.

다항식 덧셈의 2대 원칙 요약

세 다항식 $A, B, C$가 있을 때, 덧셈은 항상 다음의 두 법칙을 만족합니다.

순서를 바꿔도 무방함 (교환법칙): $A + B = B + A$
어느 것을 먼저 묶어도 무방함 (결합법칙): $(A + B) + C = A + (B + C)$

🔍 계산의 자유를 주는 법칙 파헤치기

이 법칙들을 알고 나면 복잡한 다항식 연산이 훨씬 수월해집니다. 하나씩 구체적으로 살펴볼까요?

원리 01 앞뒤를 바꿔 더해도 똑같아요!

우리가 $1 + 2$와 $2 + 1$의 결과가 같다는 것을 아는 것처럼, 다항식에서도 식의 위치를 서로 바꾸어 더해도 그 결과값은 변하지 않습니다. 이를 교환법칙이라고 합니다. 덕분에 우리는 동류항이 잘 보이는 순서로 식을 다시 배치할 수 있습니다.

원리 02 먼저 더할 짝꿍은 내가 정해요!

세 개 이상의 다항식을 더할 때, 앞의 두 개를 먼저 계산하고 나중에 나머지를 더하든, 뒤의 두 개를 먼저 계산하든 결과는 항상 같습니다. 이것이 결합법칙입니다. 계산하기 편한 식끼리 먼저 묶어서 처리할 수 있게 해주는 아주 고마운 법칙이죠.

📖 법칙을 활용한 똑똑한 계산법

실제로 이 법칙들이 어떻게 쓰이는지 예시를 통해 확인해 봅시다.

$$A = x^2 + 1, \quad B = 2x – 3, \quad C = -x^2 + 5$$

문제: $A + B + C$를 계산하세요.

단순히 앞에서부터 순서대로 $(A + B) + C$를 해도 되지만, 교환법칙과 결합법칙을 써서 $A$와 $C$를 먼저 더해볼까요?

$$A + B + C = (A + C) + B$$ $$= \{(x^2 + 1) + (-x^2 + 5)\} + (2x – 3)$$ $$= (6) + (2x – 3)$$ $$= 2x + 3$$

보시는 것처럼 $x^2$과 $-x^2$이 들어있는 $A$와 $C$를 먼저 묶어서 계산하니 식이 순식간에 간단해졌습니다! 이처럼 법칙을 활용하면 계산 실수도 줄이고 속도도 높일 수 있습니다.

💡 선생님의 팁!
덧셈에서는 이 법칙들이 당연해 보이지만, 뺄셈에서는 성립하지 않는다는 점을 꼭 기억하세요! 뺄셈은 반드시 괄호를 풀고 부호를 바꾼 뒤, ‘덧셈’의 형태로 만든 다음에 이 법칙들을 적용해야 안전합니다.

오늘 배운 두 법칙은 앞으로 배울 모든 수학 연산의 뼈대가 됩니다.
다음 시간에는 연산의 효율을 극대화하는 ‘지수법칙’에 대해 알아보겠습니다!

순서를 바꿔도, 어떻게 묶어도 OK! 다항식 덧셈 법칙 연습 문제 10선

다항식의 덧셈 법칙은 공식을 외우는 것보다 “언제, 어떻게 써먹느냐”가 훨씬 중요합니다. 아래 문제들을 통해 계산의 순서를 내 마음대로 요리하는 연습을 해보세요!

✏️ 연산 법칙 실전 트레이닝 (10문항)

[01] 두 다항식 $A, B$에 대하여 $A + B = B + A$가 성립하는 성질을 무엇이라 하나요?

[02] 세 다항식 $A, B, C$에 대하여 $(A + B) + C = A + (B + C)$가 성립하는 성질을 무엇이라 하나요?

[03] $A = x^2 – x, B = 2x + 1$일 때, 교환법칙이 성립함을 확인하기 위해 $B + A$를 계산하세요.

[04] $A = x, B = 2x, C = 3x$일 때, $(A+B)+C$와 $A+(B+C)$의 값이 같음을 확인하세요.

[05] 다음 식의 계산 과정에서 (가)에 들어갈 알맞은 법칙의 이름을 쓰세요.

$A + (B + A) = A + (A + B) \cdots \text{(가)}$
$= (A + A) + B = 2A + B$

[06] 다음 계산 단계 중 결합법칙이 사용된 곳을 고르세요.

① $A + B + C = A + C + B$
② $A + C + B = (A + C) + B$

[07] $A = x^2 + 5, B = 3x – 2, C = -x^2 + 1$일 때, $A+B+C$를 계산할 때 가장 먼저 계산하면 좋은 두 다항식은 무엇인가요?

[08] 뺄셈에서는 교환법칙 $A – B = B – A$가 성립하나요? (예/아니오)

[09] $A + B = C$일 때, $B + A – C$의 결과는 항상 무엇이 될까요?

[10] 세 다항식 $A, B, C$에 대하여 $(A + B) + C$를 계산한 결과가 $5x^2 + 2x$라면, $A + (B + C)$의 결과는 무엇인가요?

📖 상세 풀이 및 정답

풀이 01

더하는 순서를 바꾸어도 결과가 같은 성질은 교환법칙입니다.

풀이 02

앞의 두 식을 먼저 더하나 뒤의 두 식을 먼저 더하나 결과가 같은 성질은 결합법칙입니다.

풀이 03

$B + A = (2x + 1) + (x^2 – x) = x^2 + (2-1)x + 1$
결과: $x^2 + x + 1$

풀이 04

$(A+B)+C = (x+2x)+3x = 3x+3x = 6x$
$A+(B+C) = x+(2x+3x) = x+5x = 6x$
두 결과가 6x로 같으므로 결합법칙이 확인됩니다.

풀이 05

괄호 안의 $B + A$가 $A + B$로 자리가 바뀌었으므로 교환법칙입니다.

풀이 06

①은 위치가 바뀌었으므로 교환법칙, ②는 특정 부분을 괄호로 묶어 먼저 계산하도록 지정했으므로 결합법칙입니다.

풀이 07

$A$의 $x^2$과 $C$의 $-x^2$이 만나면 사라지므로, A와 C를 먼저 계산하는 것이 훨씬 효율적입니다.

풀이 08

아니오. 예를 들어 $(x) – (2x) = -x$이지만, $(2x) – (x) = x$로 결과가 다릅니다.

풀이 09

교환법칙에 의해 $B + A = A + B = C$입니다. 따라서 $C – C = 0$이 됩니다.
정답: $0$

풀이 10

결합법칙에 의해 $(A + B) + C$와 $A + (B + C)$는 항상 같은 값을 가집니다.
정답: $5x^2 + 2x$

🎉 수고하셨습니다!
덧셈 법칙은 복잡한 식을 마주했을 때 여러분의 계산을 아주 가볍게 만들어 줄 것입니다.
이제 다음 개념인 ‘지수법칙’으로 넘어가 볼까요?

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