[고등수학개념사전]003고등 수학 다항식의 연산 첫걸음! 다항식의 덧셈과 뺄셈의 원리인 동류항 정리

끼리끼리 모으면 끝! 다항식 덧셈과 뺄셈 실수 없이 마스터하기

안녕하세요! 지난 시간에는 다항식을 예쁘게 줄 세우는 법을 배웠죠? 이제 그 줄 세운 식들을 가지고 직접 더하고 빼는 계산을 해볼 차례입니다. 원리만 알면 정말 간단하지만, 부호 하나에 답이 달라질 수 있으니 꼼꼼함이 필수인 단원입니다!

다항식 연산의 절대 규칙

다항식의 덧셈과 뺄셈은 딱 한 가지만 기억하세요. 바로 ‘동류항(같은 종류의 항)’끼리 계산하는 것입니다!

덧셈: 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계수를 더합니다.
뺄셈: 빼는 식의 각 항의 부호를 모두 반대로 바꾼 뒤 덧셈과 똑같이 계산합니다.

🔍 실수를 줄이는 단계별 계산법

복잡해 보이는 식도 세 단계를 거치면 깔끔하게 정리됩니다. 차근차근 따라와 보세요.

STEP 1 괄호 먼저 탈출하기!

가장 먼저 식을 감싸고 있는 괄호를 풀어줍니다. 이때 괄호 앞에 마이너스(-) 부호가 있다면, 괄호 안의 모든 항의 부호를 반대로 뒤집어야 한다는 점을 잊지 마세요.

STEP 2 단짝 친구, ‘동류항’ 찾기

문자와 차수가 완벽하게 똑같은 항들을 찾아봅니다. $x^2$은 $x^2$끼리, $x$는 $x$끼리, 숫자는 숫자끼리 모으는 과정입니다.

STEP 3 계수끼리 덧셈·뺄셈

찾아낸 동류항들의 숫자(계수)를 계산하여 식을 마무리합니다. 보통 결과는 차수가 높은 항부터 쓰는 내림차순으로 적는 것이 정석입니다.

📖 예제로 직접 확인하기

아래와 같은 두 다항식 $A, B$가 있다고 생각해 봅시다.

$$A = 2x^2 – 3x + 1, \quad B = x^2 + 4x – 5$$

1) 덧셈 계산하기 ($A + B$)

괄호를 풀고 동류항끼리 모아볼까요?

$$(2x^2 – 3x + 1) + (x^2 + 4x – 5)$$ $$= (2+1)x^2 + (-3+4)x + (1-5)$$ $$= 3x^2 + x – 4$$

2) 뺄셈 계산하기 ($A – B$)

뺄셈은 뒤에 오는 식 $B$의 부호를 모두 바꿔야 합니다.

$$(2x^2 – 3x + 1) – (x^2 + 4x – 5)$$ $$= 2x^2 – 3x + 1 \mathbf{- x^2 – 4x + 5}$$ $$= (2-1)x^2 + (-3-4)x + (1+5)$$ $$= x^2 – 7x + 6$$

💡 선생님의 한 마디!
뺄셈에서 괄호를 풀 때 가장 뒤에 있는 상수항의 부호를 빠뜨리는 실수가 자주 나옵니다. ‘분배법칙’을 적용하듯 괄호 끝까지 부호를 꼼꼼하게 적용해 주는 연습을 꼭 해주세요!

오늘 내용이 도움이 되셨나요? 식의 계산이 손에 익으면 수학이 훨씬 즐거워집니다.
다음 시간에는 ‘다항식의 덧셈에 대한 연산 법칙’을 알아보겠습니다!

실수 제로 도전! 다항식 덧셈·뺄셈 실전 연습 문제 10선

눈으로 읽기만 하면 내 것이 되지 않습니다. 연습장에 식을 직접 쓰고 괄호를 풀어보세요. 특히 마이너스(-) 부호가 괄호 앞에 있을 때의 변화에 집중하면 정답률이 쑥쑥 올라갑니다!

✏️ 다항식 덧셈·뺄셈 실전 10문항

[01] 두 다항식 $A = x^2 – 3x + 2$, $B = 2x^2 + x – 5$일 때, $A + B$를 구하세요.

[02] 두 다항식 $A = 3x^2 + 4x – 1$, $B = x^2 – 2x + 3$일 때, $A – B$를 구하세요.

[03] 다음 식을 간단히 정리하세요.

$$(2x^2 – xy + y^2) + (x^2 + 3xy – 2y^2)$$

[04] 다음 식을 간단히 정리하세요.

$$(5a – 2b + 3c) – (2a + 4b – c)$$

[05] $(2x^2 – 5x + 1) + (3x^2 + 2x – 4)$를 계산했을 때, **$x$의 계수**를 구하세요.

[06] $A = x + 1$, $B = 2x – 3$일 때, $2A + B$를 계산하세요.

[07] $A = 2x^2 + 3x$, $B = x^2 – 1$일 때, $A – 2B$를 계산하세요.

[08] 다음 등식을 만족하는 다항식 $X$를 구하세요.

$$(x^2 – 4x + 3) + X = 2x^2 + x – 1$$

[09] 다음 등식을 만족하는 다항식 $X$를 구하세요.

$$(3x^2 + 2) – X = x^2 – x + 5$$

[10] $A = 3x^2 – 2x + 1$, $B = x^2 + 4x – 3$일 때, 다음을 계산하세요.

$$2(A – B) – (A – 3B)$$

📖 단계별 상세 풀이

풀이 01

$(x^2 – 3x + 2) + (2x^2 + x – 5)$
$= (1+2)x^2 + (-3+1)x + (2-5)$
결과: $3x^2 – 2x – 3$

풀이 02

$(3x^2 + 4x – 1) – (x^2 – 2x + 3)$
$= 3x^2 + 4x – 1 – x^2 + 2x – 3$ (괄호 안 부호 반전!)
$= (3-1)x^2 + (4+2)x + (-1-3)$
결과: $2x^2 + 6x – 4$

풀이 03

동류항끼리 모아줍니다.
$x^2$항: $2x^2 + x^2 = 3x^2$
$xy$항: $-xy + 3xy = 2xy$
$y^2$항: $y^2 – 2y^2 = -y^2$
결과: $3x^2 + 2xy – y^2$

풀이 04

$5a – 2b + 3c – 2a – 4b + c$
$= (5-2)a + (-2-4)b + (3+1)c$
결과: $3a – 6b + 4c$

풀이 05

전체 계산: $5x^2 – 3x – 3$
여기서 $x$ 앞에 붙은 숫자는 $-3$입니다.
정답: $-3$

풀이 06

$2(x+1) + (2x-3) = 2x + 2 + 2x – 3$
결과: $4x – 1$

풀이 07

$(2x^2 + 3x) – 2(x^2 – 1) = 2x^2 + 3x – 2x^2 + 2$
이때 $2x^2$과 $-2x^2$은 소거됩니다.
결과: $3x + 2$

풀이 08

$X = (2x^2 + x – 1) – (x^2 – 4x + 3)$
$= 2x^2 + x – 1 – x^2 + 4x – 3$
결과: $x^2 + 5x – 4$

풀이 09

$X = (3x^2 + 2) – (x^2 – x + 5)$
$= 3x^2 + 2 – x^2 + x – 5$
결과: $2x^2 + x – 3$

풀이 10

1단계 (식 단순화): $2A – 2B – A + 3B = A + B$
2단계 (대입): $(3x^2 – 2x + 1) + (x^2 + 4x – 3)$
결과: $4x^2 + 2x – 2$

💯 학습 완료!
10문제를 모두 맞히셨나요? 부호 실수만 없다면 다항식 연산은 여러분의 가장 강력한 무기가 될 것입니다.
다음 장에서는 ‘지수법칙’을 이용한 곱셈의 세계로 넘어가 보겠습니다!

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