문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
한 변 6인 정삼각형의 높이는 3√3. 무게중심 O는 높이를 2:1로 나눈다. 그래서 O에서 꼭짓점까지 OA=2√3, O에서 변의 중점까지는 √3. O를 원점으로 두면 B(3, √3), C(−3, √3), A(0, −2√3)로 깔끔하게 배치된다.
◀ 무게중심 도형은 무게중심을 원점으로 잡아라
포물선 C₂를 y=ax²+b로 놓자. 직선 OB는 x축과 30°를 이루므로 기울기 tan30°=√3/3. 접점 B(3, √3)에서 ① 점 지나기 √3=9a+b, ② 기울기 일치 y’=2a·3=√3/3. 두 식을 풀면 a=√3/18, b=√3/2. 접선 문제는 언제나 ‘점+기울기’ 두 조건이다.
◀ 접선 조건은 항상 방정식 2개(점·기울기)
3개 포물선이 만드는 별 모양은 합동인 6조각으로 나뉜다. 한 조각(포물선 C₂와 직선 y=√3/3 x, y축으로 둘러싸인 부분) 넓이를 구해 6배: 6∫₀³{(√3/18 x²+√3/2)−√3/3 x}dx = 6·(√3/2) = 3√3.
◀ 대칭성 찾아 ‘한 조각 ×개수’로
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 도형 문제인데 좌표가 없다 → 좌표를 스스로 부여하는 게 첫 발상이다. 무게중심을 원점, 대칭축을 y축으로 잡으면 꼭짓점 좌표가 √3 단위로 예쁘게 떨어진다. 그 다음은 ‘접선=점+기울기’로 포물선을 결정하고, 대칭성으로 6배 하면 끝.
실수 포인트 ① : 무게중심이 높이를 2:1로 나누는데 이를 1:1이나 1:2로 착각해 OA와 변까지 거리를 뒤바꾸는 실수. 꼭짓점 쪽이 2, 변 쪽이 1이다.
실수 포인트 ② : 직선 OB의 기울기를 tan60°(=√3)로 잡는 실수. OB는 x축과 30°를 이루므로 기울기는 √3/3이다.
실수 포인트 ③ : 한 조각 넓이만 구하고 ×6을 잊는 실수. 3개 포물선이 만드는 도형은 6조각이다.
정답 : ③ (3√3)