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f와 g는 y=x에 대칭이라 두 곡선의 교점은 직선 y=x 위에 놓인다. 그래서 g의 식을 구할 필요 없이 f(x)=x, 즉 x³−6=x로 교점을 찾는다. x³−x−6=0에 x=2를 넣으면 0 → (x−2)(x²+2x+3)=0, 남은 이차식은 실근이 없어 교점 x좌표는 x=2 하나다.
◀ 역함수 교점 = f(x)=x의 근
f와 g로 둘러싸인 부분은 y=x에 대칭이라 f와 직선 y=x 사이 넓이의 2배다. f와 y=x 및 y축으로 둘러싸인 넓이 S=∫₀²{x−(x³−6)}dx=[½x²−¼x⁴+6x]₀²=10. g쪽 넓이도 대칭이라 똑같이 S이므로 g를 직접 적분하지 마라.
◀ g의 정적분은 대칭으로 f 적분으로 바꾼다
직선 y=−x−6은 (−6,0), (0,−6)을 지나고 y=x에 수직이다. 세 점 (0,0),(−6,0),(0,−6)이 만드는 직각삼각형 넓이는 ½·6·6=18. 따라서 전체 넓이는 2S+18=2·10+18=38. 넓이 문제는 “대칭 2배 + 삼각형”으로 조각내면 적분이 최소가 된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 역함수 넓이는 무조건 y=x 대칭을 먼저 의심한다. f와 g의 교점은 y=x 위 → f(x)=x로 x=2. 대칭이라 f∪g로 둘러싸인 넓이는 f와 y=x 사이 넓이 S=10의 2배, 여기에 직선·좌표축이 만드는 직각삼각형 18을 더한다. 2·10+18=38.
실수 포인트 ① : 교점을 f(x)=g(x)로 풀겠다고 g(x)=∛(x+6)까지 구하는 실수. 교점은 y=x 위이므로 f(x)=x면 끝이다.
실수 포인트 ② : x³−x−6=0에서 실근을 못 찾고 헤매는 실수. 상수항 6의 약수(±1,±2,±3,±6)를 대입해 x=2를 찾고 조립제법으로 (x−2)를 뽑아라.
실수 포인트 ③ : 대칭을 안 쓰고 g의 넓이를 직접 적분하려다 무리함수 적분에서 막히는 실수. S를 2배 하고 삼각형만 더하면 무리함수 적분은 전혀 필요 없다.
정답 : ⑤ (38)