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교점의 x좌표가 1, 2라고 주어졌다. 역함수 교점은 y=x 위에 있으므로 교점은 (1,1), (2,2)다. f는 이 두 점을 지나므로 f(1)=a+b=1, f(2)=4a+b=2. 연립하면 a=⅓, b=⅔, 즉 f(x)=⅓x²+⅔.
◀ 교점 x좌표 t → 교점은 (t, t)
0≤x≤1에서 f는 y=x 위, g는 y=x 아래에 대칭으로 놓인다. f, g, x축, y축으로 둘러싸인 A는 f와 y=x 사이 넓이의 2배다. A=2∫₀¹(⅓x²+⅔−x)dx=2·5/18=5/9. 좌표축이 껴 있어도 대칭 구조는 그대로다.
◀ g를 적분하지 말고 f와 y=x로 바꿔라
1≤x≤2에서는 x>f(x)라 f가 y=x 아래로 내려간다. B=2∫₁²(x−⅓x²−⅔)dx=2·1/18=1/9. 구간마다 f와 y=x의 상하가 바뀌므로 |f−x|의 부호를 반드시 다시 따져야 한다. A−B=5/9−1/9=4/9.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 역함수 넓이는 y=x 대칭이 전부다. 교점 x좌표 1,2 → (1,1),(2,2)를 f에 대입해 a=⅓, b=⅔. A도 B도 g를 적분하지 않고 “f와 y=x 사이 넓이의 2배”로 환원한다. 구간 [0,1]은 f>x(넓이 A), [1,2]는 x>f(넓이 B)로 상하가 뒤집힌다는 것만 놓치지 않으면 된다.
실수 포인트 ① : g(x)=√(3x−2)를 직접 구해 적분하려는 실수. 대칭을 쓰면 f만 적분해도 된다.
실수 포인트 ② : A를 “f와 y=x 사이”까지만 구하고 ×2를 빠뜨리는 실수. 좌표축까지 포함한 A는 반드시 2배다.
실수 포인트 ③ : [1,2]에서 f−x의 부호가 [0,1]과 반대인 걸 놓쳐 절댓값 없이 적분해 음수가 나오는 실수. 이 구간은 (x−f)로 적분한다.
정답 : ④ (A−B=4/9)