문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=x⁴−x³, y=−x⁴+x, 그리고 이등분곡선 y=ax(1−x)는 모두 x=0과 x=1을 지난다. 그래서 이등분곡선은 두 곡선 사이 영역을 위 조각·아래 조각으로 자연스럽게 나눈다. 교점을 새로 구할 필요가 전혀 없다.
◀ 이등분곡선도 같은 두 점을 지나는지 먼저 확인
위곡선 f=−x⁴+x, 아래곡선 g=x⁴−x³, 이등분곡선 h=ax(1−x)로 두면, 이등분이란 (위 조각)=(아래 조각) ⟺ ∫₀¹(f−h)dx=∫₀¹(h−g)dx ⟺ ∫₀¹(f+g−2h)dx=0. 넓이를 두 개 따로 구하는 대신 이 한 방정식으로 끝난다.
◀ 이등분 = ∫(위+아래−2×중간)=0
f+g = (−x⁴+x)+(x⁴−x³) = x−x³. 4차항이 사라져 계산이 확 준다. ∫₀¹(x−x³)dx − 2a∫₀¹(x−x²)dx = ¼ − 2a·⅙ = ¼ − a/3 = 0 → a=¾ (0<a<1도 만족).
◀ 더했을 때 소거되는 항이 있으면 무조건 그 방향
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘넓이 이등분’을 보면 반사적으로 두 넓이를 각각 구해 방정식을 세우려 하는데, 세 곡선이 같은 두 점(0, 1)에서 만난다는 걸 이용하면 ∫₀¹(f+g−2h)dx=0 한 줄로 정리된다. 이게 이등분·이등변 유형의 만능 스킬이다.
실수 포인트 ① : 두 곡선의 교점을 x⁴−x³=−x⁴+x로 놓고 4차방정식을 힘겹게 푸는 실수. 두 곡선 모두 x=0, x=1을 공유하므로 교점은 0과 1뿐이다.
실수 포인트 ② : 위·아래 곡선을 뒤바꿔 부호를 틀리는 실수. 0<x<1에서 −x⁴+x가 위, x⁴−x³이 아래다.
실수 포인트 ③ : ¼=a/3에서 a=¾인데 양변 정리를 흘려 엉뚱한 값으로 답하는 실수. 계수 계산을 끝까지 꼼꼼히.
정답 : ④ (a=¾)