문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)는 x<0 조각 −x²−2x+6과 x≥0 조각 −x²+2x+6이 y축에 대해 서로 대칭이다. 두 조각을 그려보면 낙타등 모양이고, 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이 A는 y축을 기준으로 왼쪽 절반과 오른쪽 절반이 합동이다. 그러니 오른쪽(x≥0)만 계산하면 나머지는 자동으로 따라온다.
◀ 대칭을 보면 ‘절반만 계산’하는 습관
A=2B에서 A의 절반, 즉 오른쪽 조각 넓이(x=0~Q, x축 위)가 곧 B(x=Q~R, x축 아래)와 같아진다. 위쪽 넓이와 아래쪽 넓이가 같으면 부호가 상쇄되어 ∫₀ᵏ f(x)dx = 0. 넓이를 하나하나 구할 필요 없이 이 한 줄로 조건이 방정식으로 바뀐다.
◀ 넓이 비 조건은 정적분=0으로 번역하라
0부터 k까지는 전부 x≥0 구간이니 −x²+2x+6 하나만 적분한다. ∫₀ᵏ(−x²+2x+6)dx = −⅓k³+k²+6k = 0 → −⅓k(k+3)(k−6)=0. 근은 k=0, −3, 6이고 조건 k>4를 만족하는 건 k=6.
◀ 인수분해 후 조건 k>4로 답 골라내기
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조각함수가 y축 대칭이라는 걸 먼저 알아채면 문제가 절반으로 줄어든다. A를 굳이 다 구하려 들지 말고 A=2B ⟺ A/2=B ⟺ (위쪽 넓이)=(아래쪽 넓이) ⟺ ∫₀ᵏ f(x)dx=0으로 번역하는 것이 이 문제의 핵심 발상이다.
실수 포인트 ① : P, Q의 좌표 ±(1+√7)를 실제로 구해 넓이를 처음부터 끝까지 적분하려다 계산이 폭발하는 실수. 좌표는 필요 없다. 정적분=0만 쓰면 된다.
실수 포인트 ② : ∫₀ᵏ f(x)dx를 계산하면서 x<0 조각(−x²−2x+6)까지 끌어들이는 실수. 0부터 k(>0)까지는 x≥0 조각 −x²+2x+6 하나뿐이다.
실수 포인트 ③ : 3차방정식의 근 k=0, −3, 6 중 아무거나 고르는 실수. 반드시 조건 k>4로 걸러 k=6.
정답 : ④ (k=6)